Question

八上数学题目求解

如图1，已知直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点A、C，以OA、OC为边在第一象限内作长方形OABC。
（1）求点A、C的坐标；
（2）将△ABC对折，使得点A与点C重合，折痕交AC与点B‘，交AB与点D，连结CD，求CD所在直线的解析式（图2）；
（3）在坐标平面内，是否存在点P（除点B外），使得以A,P,C为顶点的三角形与△ABC全等？若存在，请求出所有符合条件的P点坐标；若不存在，请说明理由。
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Answer 1

(1)当y=0时，0=－2x+4 ∴A的坐标为（2,0）
当x=0时，y=－2x+4=4 ∴C的坐标为（0,4）
（2）设AD=x ∴BD=4－x ∴CD²=4+16+x²－8x
∵CD=AD ∴4+16+x²－8x=x² ∴x=2.5
设CD的函数解析式为y=kx+b (k、b均为常数，k≠0）
由题意得4=b ∴k=－0.75
2.5=2k+b b=4
∴所求函数解析式为y=－0.75x+4
(3)存在，P1（0,0），P2（16/5,8/5)，P3(－6/5,12/5)
作P2⊥x轴，延长CB交于F，设P2的坐标为（x,y)
由题意得(x－2)²+y²=2²
(4－y)²+x²=4²
∴x=2y
代入y=－0.75x+4得 y=－0.75×2y+4
∴y=8/5,x=16/5 ∴P2的坐标为（16/5,8/5）
同理得，P3的坐标为（－6/5,12/5）