Question

几何证明题！ 四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，∠ABD=60°，过D作ED⊥AD交AC于E，恰有DE平分∠BDC。

四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，∠ABD=60°，过D作ED⊥AD交AC于E，恰有DE平分∠BDC。试判断CD、BD与AC之间有怎样的数量关系？并证明！（能给一个图吗？谢谢！）

Answer 1

结论：AC=BD+CD

证明：延长ED到N，使DN=ED，连结AN并延长交BD的延长线于点M。

    ∵ED⊥BD

∴AE=AN，∠AEN=∠ANE, ∠4=∠5

∴∠CEN=∠MNE

∴∠1=∠3，∠2=∠3

∴∠1=∠2

∴△ECD≌△NMD

∴∠ECD=∠M,CD=MD

∵∠4=∠5, ∠ECD=∠M, AD=AD

∴△ACD≌△AMD

∴AC=AM

∴AB=AC, ∠ABD=60度

∴△ABM是正三角形

∴BM=AM=AC=BD+DM=BD+CD

Answer 2

解：AC=BD+CD 。

证明：如图所示，延长BD到G使DG=CD,连接AG，延长ED交AG于H.

因DE平分∠BDC，所以∠BDE=∠CDE。又∠BDE=∠HDG。

所以∠CDE=∠HDG.所以∠ADC=∠AGC.

又CD=DG,AD=AD,

所以三角形ACD全等于三角形AGD（SAS）

可得AG=AC=AB

因为角ABD=60°

所以三角形ABG为等边三角形

即AC=AB=BD=BG 

又因为BG=BD+DG

所以AC=BD+CD

Answer 3

AC=BD+CD

如图所示：延长BD至N，使DN=CD，连接AN，延长ED交AN于M

∵∠BDE=∠CDE，∠BDE=∠MDN

∴∠CDE=∠MDN(等量代换)

∵∠ADE=∠ADM=90°

∴∠ADE+∠CDE=∠ADM+∠MDN (等式性质)

即∠ADC=∠ADN

又∵DN=CD，AD是公共边

∴△ADC≌△ADN

∴AC=AN

又∵AB=AC

∴AB=AN

∵∠ABN=60°

∴△ABN是等边三角形

∴AB=BN

∴AC=BN=BD+DN=BD+CD

Answer 4

CD,BD,AC之间的关系。
最佳答案 楼主新年快乐
CD+BD=AC
证明如下:
延长ED至F,使ED=DF,连接AF并延长至G,使G落在BD的延长线上,
由∠ADE=∠ADF=90°,AD=AD,ED=DF,根据边角边,有△ADE全等于△ADF,得到∠EAD=∠FAD,
又由∠BDE=∠CDE(角平分线),∠BDE=∠GDF(对顶角),得到∠EDC=∠FDG,所以∠ADC=∠ADG
根据角边角,△ADC全等于△ADG,所以CD=DG,AC=AG,
又AC=AB,所以AB=AG,∠AGB=∠ABG=60度,三角形ABG为正三角形
所以AB=BG=BD+DG=BD+CD,再根据AB=AC得到AC=CD+BD
证毕

Answer 5

我还花了不少时间