Question

在平面直角坐标系中，已知A（2,4）B（0，1）C（6，0）

在平面直角坐标系中，已知A（2,4）B（0，1）C（6，0）
1)过B做BD⊥CA于点D，求D点坐标
2）以B为圆心，BA为半径作圆，是否存在斜率为1的直线l，使以l被圆截得的弦AB为直径的圆过原点?若存在，写出方程，不存在，说明理由

Answer 1

解：设直线AC的方程为y-0=k（x-6）
将A（2，4）代入
4=k（2-6）
k=-1
所以y=-x+6
那么BD的斜率为1
设点D坐标（x，-x+6）
那么
（-x+6-1）/（x-0）=1
-x+5=x
x=5/2
y=-5/2+6=7/2
点D（5/2，7/2）
（2）AB=√（0-2）²+（1-4）²=√13
那么圆B方程x²+（y-1）²=13
设所求直线方程为y=x+b
根据题意，直线L被圆B截得的弦是直径，而且经过原点
那么设被截得的弦是EF，OE⊥OF
设E（x1，x1+b）F（x2，x2+b）
（x1+b-0）/（x1-0）×（x2+b-0）/（x2-0）=-1
（x1+b）（x2+b）+x1x2=0
x1x2+b（x1+x2）+b²+x1x2=0
2x1x2+b（x2+x2）+b²=0（1）
将y=x+b代入圆B的方程
x²+（x+b-1）²=13
x²+x²+2（b-1）x+（b-1）²-13=0
2x²+2（b-1）x+b²-2b-12=0
x1+x2=1-b
x1×x2=（b²-2b-12）/2
代入（1）
b²-2b-12+b（1-b）+b²=0
2b²-2b-12+b-b²=0
b²-b-12=0
（b-4）（b+3）=0
b=-3或b=4
所以直线L存在，为y=x+4或y=x-3