Question

写出这两道高数证明题的详细解题过程~~~ 谢谢

题目如图

Answer 1

1.构造辅助函数F(x)=ax^4+bx³+cx²+dx,则
(1)F′(x)=4ax³+3bx²+2cx+d=f(x)
∴ F(0)=0, F(1)=a+b+c+d=0
由罗尔定理，至少存在一点ξ∈(0,1)，使得
F′(ξ)=0,即f(ξ)=4aξ³+3bξ²+2cξ+d=0
∴f(x)在(0,1)内至少有一根
(2)F〃(x)=f′(x)=12ax²+6bx+2c=2(6ax²+3bx+c)
∴Δ=36b²-96ac=12(3b²-8ac)<0 即 F〃(x)>0恒成立 或 F〃(x)<0恒成立
∴F′(x)在(0,1)内单调
∴F′(x)=0对应的x是唯一的
∴f(x)在(0,1)内有且只有一根

2.f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+α(x)
当x→0时,lim[f(1)-3f(1)]=0即 limf(1)=0,x→0
又∵f(x)是连续函数
∴f(1)=limf(1)=0,x→0
(1) f(1+sinx)+[-f(1)+3f(1)]-3f(1-sinx)=8x+α(x)
[ f(1+sinx)-f(1)]+[3f(1)-3f(1-sinx)]=8x+α(x)
等式两边同除以x，取极限：
x→0, {[ f(1+sinx)-f(1)]+[3f(1)-3f(1-sinx)]}/x=[8x+α(x)]/x
x→0, [f(1+sinx)-f(1)]/x+3[f(1)-f(1-sinx)]/x=8+0
x→0, [f(1+sinx)-f(1)]/sinx·(sinx/x)+3[f(1)-f(1-sinx)]/sinx·(sinx/x)=8
f′(1)+3f′(1)=8
∴f′(1)=2
(2)∵f(x)是周期为5的连续函数
∴f(6)=f(1)=0,f′(6)=f′(1)=2
∴切线方程为y-f(6)=2(x-6)即 y=2x-12.

PS：看在我输得这么辛苦的份上，多点分吧，谢谢！

Answer 2

你的题目呢？？