Question

【初三中考数学】如图，正方形ABCD的边长为12，点E是AD边上一动点，点F在

如图，正方形ABCD的边长为12，点E是AD边上一动点，点F在BC的延长线上，且BF=EF。设AE=x，BF=y。（1）求y关于x的函数关系式；（2）将△ABE沿BE所在直线折叠，使点A落在A’。当△A’BF为等腰三角形时，求AE的长？

Answer 1

(1)作EG垂直BF于G，则

BG=AE=x,

因为EF=BF=y，所以

EF^2=EG^2+GF^2=12^2+(y-x)^2=y^2

化简得

    y=x/2+72/x

(2)因为EF=BF，所以∠FEB=∠FBE=∠AEB，

  所以，将△ABE沿BE所在直线折叠，点A落在EF上，即A’在EF上，且BA’垂直EF。

  若△A’BF为等腰三角形，则BF=√2BA’

即  

  y=x/2+72/x=12√2

解得 x=12(√2-1)

所以  AE=12(√2-1)

Answer 2

解：（1）作EG⊥BF，垂足为点G
根据题意，得EG=AB=12，FG=y-x，EF=y
在直角三角形EGF中
∴y^2=（y-x）^2+12^2，
∴所求的函数解析式为
y=(x^2+144)/2x（0＜x＜12）
(2）∵∠AEB=∠FBE=∠FEB，
∴点A'落在EF上，
∴A'E=AE，∠BA'F=∠BA'E=∠A=90，
∴要使△A'BF成为等腰三角形，必须使A'B=A'F．
而A'B=AB=12，A'F=EF-A'E=BF-A'E，
∴y-x=12．
∴(x^2+144)/2x
-x=12
整理得x^2+24x-144=0
得x=-12±12√2
舍去负根，得X=-12+12√2=AE