Question

已知正方形ABCD的边长为4，分别以A、B、C、D为圆心的圆弧构成如下的图形，则图中的阴影面积为 ．

已知正方形ABCD的边长为4 ，分别以A、B、C、D为圆心的圆弧（4个4分之一圆）构成如下的图形，求图中的阴影（4个4分之一圆的重叠部分）面积．
半径为4

Answer 1

如图，即求 EFGH 所围成区域的面积吧。

有如下步骤：

一.求区域 DEFGC 的面积（即以 DC 为底，以  弧DEF 和 弧FGC 为边的区域）。

连接 FD 与 FC ，易知 △FDC 为等边三角形 ，则易知其面积为 4*根号3 。

又因为 角FDC 为 60°，所以容易得到 扇形DCGF 的面积，为 8*π/3。

所以易知区域 DEFGC 的面积为：

扇形DFGC的面积+扇形CFED面积－△FDC面积=16*π/3-4*根号3。

二.求区域 DAEHC 的面积。（即边AD和DC 以及 弧AEHC 构成的区域）

很容易，其面积为：正方形ABCD面积－扇形BAEHC的面积=16-4*π。

三.求区域 DHC 的面积。（即DC为底，弧DH和弧HC为腰的类似三角形区域）

整个 正方形ABCD 可划分为如下区域：

区域AEHGB+区域DAEHC+区域CBGHD－区域DHC。

而 区域AEHGB 的面积即 区域DEFGC 的面积，区域DAEHC 和 区域CBGHD 面积相等。

所以：

区域DHC面积=区域DEFGC面积+ 2*区域DAEHC面积－ABCD面积=16－4*根号3－8*π/3。

四.求 区域EFGH 的面积。

以上各步的目的其实是求 区域DHC 的面积，得到 区域DHC 的面积后，求 区域EFGH 的面积就

很容易了。

由图易知，区域DAEHC+区域CDHGB+区域BCGFA+区域ABFEC－区域DHC－区域CGB－区域BFA－区域AED＋区域EFGH = 正方形ABCD。

由于对称性可知：

区域EFGH面积 = 正方形ABCD面积+ 4*区域DHC面积－4*区域DAEHC面积 

=16+16*π/3－16*根号3。

另外，还有一种非常简单的方法，就是由对称性可以得出 角FDG=30°，并可知，若连接 EF、FG 、GH、HE，则 四边形EFGH 为正方形 。从而可求出 线段FG 的长度，并求得 弧FG 和 线段FG 围成区域的面积。进而可以直接利用上面的分解求出 区域EFGH 的面积。。 不过这种方法要涉及三角公式等，比较难写上去。。 感兴趣的话楼主可以自己算算。  我算了下，结果和上面的方法一样。。

Answer 2

能给张图吗。。

Answer 3

没有圆的半径么？