Question

高一三角函数数学题

已知函数f（x）=1/2[1+cos(2x+π/6)],g(x)=1+1/2sin2x
1）设x=x。是函数y=f（x）图像的一条对称轴，求g（x。）的值
2）将函数y=f（x）图像向右平移π/6个单位后，再将得到的图像上各点伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=h（x）的图像，求y=h（x）的单调递减区间

Answer 1

1）对f'（x）=cosx，其对称轴为x=π+kπ，则f（x）=1/2[1+cos(2x+π/6)]的对称轴为 x=5/12π+kπ/2 , k∈N*
g（x。）=1+1/2sin(5/6π+kπ）
=1±1/4
=5/4或3/4
2)y=f（x）图像向右平移π/6个单位后得到f（x）=1/2[1+cos(2x-π/6)]，伸长即周期变为原来四 倍，得到h（x）=1/2[1+cos(1/2x-π/6)]
那么h(x)的单调递减区间为〔π/3+4kπ，7π/3+4kπ〕, k∈N*

Answer 2

1）x=x。是函数y=f（x）图像的一条对称轴，
∴2x0+π/6=kπ,k∈Z,
∴2x0=(k-1/6)π,
∴g(x0)=1-(1/4)(-1)^k*.
2)y=f（x）图像向右平移π/6个单位后，得到y=1/2[1+cos(2x-π/6)]的图像。再将得到的图像上各点横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y=h（x）=1/2[1+cos(x/2-π/6)]的图像，
y=h（x）的单调递减区间由
2kπ<=x/2-π/6<=(2k+1)π确定，
（4k+1/3)π<=x<=(4k+7/3)π,为所求。