Question

直线l与椭圆x^2/4+y^2=1交于p，q两点 已知l过定点(1,0），则弦pq中点轨迹方程是 我知道答案 但求大神给过

Answer 1

解：设弦pq中点坐标(x,y) ,p(x1,y1), q(x2,y2)
设直线l:y=k(x-1)
联立y=k(x-1)和x²/4+y²=1
消y得：(1+4k²)x²-8k²x+4k²-4=0
由题△>0
韦达定理：x1+x2=8k²/(1+4k²)
x1x2=(4k²-4)/(1+4k²)
x=(x1+x2)/2=4k²/(1+4k²)
y=(y1+y2)/2=[k(x1-1)+k(x2-1)]/2=[k(x1+x2)-2k]/2=-k/(1+4k²)
x/y=4k²/-k
k=-x/4y
k²=x²/16y²
因为x=4k²/(1+4k²) 消k²并化简得4y²+x²-x=0

Answer 2

解：依题意可设此直线的斜率为k，则；
直线方程为：y=k(x-1)①, x^2/4+y^2=1②联立运用韦达定理得
1/2（x1+x2)=k^2/(1/4+k^2) ;再由直线得 1/2（y1+y2）=-k/(4k^2+1)
设中点坐标为（x,y)则x=1/2(x1+x2),y=1/2(y1+y2)
所以x/y=-k,又y=k(x-1)消去k得 x^2+y^2-x=0
所以其中点的运动轨迹方程为x^2+y^2-x=0

Answer 3

设p（x1,y1）q(x2,y2)中点M（0.5（x1+x2）,0.5(y1+y2)）
直线方程x=my+1带入椭圆方程得（0.25m²+1）y²+0.5my-0.75=0
y1+y2=0.5m／（0.25m²+1）,x1+x2=2／（0.25m²+1）
M坐标为1／（0.25m²+1）,0.25m／（0.25m²+1）
故所求中点轨迹为y=0.25mx.
m没消掉，一会再看