Question

设a为实数,函数f(x)=x²-|2x-a|+1,x属于a

1、若f(x)是偶函数，试求a的值
2、证明：在第一问的条件下，f(X)在（0,1）上是减函数。

要详解。

Answer 1

f(x)=f(-x)
x²-|2x-a|+1=x²-|-2x-a|+1
|2x-a|=|-2x-a|
则2x-a=-2x-a或2x-a=2x+a
第一个是2x=-2x，不是恒成立
则2x-a=2x+a
a=0

f(x)=x²-|2x|+1
x>0，则f(x)=x²-2x+1
令0<x1<x2<1
f(x1)-f(x2)
=x1²-2x1+1-x2²+2x2-1
=(x1+x2)(x1-x2)-2(x1-x2)
=(x1-x2)(x1+x2-2)
x1<x2,x1-x2<0
x1<1,x2<1,x1+x2-2<0
所以f(x1)-f(x2)>0
即0<x1<x2<1，f(x1)>f(x2)
所以是减函数