Question

关于高中数学三角函数部分的一个问题

存在α∈（0，90°），使sinα+cosα=1/3

请问这句话为什么错误？

Answer 1

因为sinα+cosα=1/3
所以（sinα+cosα）^2=1/9
即(sinα)^2+(cosα)^2+2sinα cosα=1/9
又(sinα)^2+(cosα)^2=1，2sinα cosα=sin2α
所以sin2α=-8/9
因为α∈（0，90°）
所以2α∈（0，180°）
所以sin2α>0
所以与sin2α=-8/9相矛盾
所以这句话不成立。

Answer 2

让式子左右平方，即1+2sinαcosα=1/9
sin2α=－8/9
所以而α∈（0，90°），
则2α∈（0，180°），
所以sin2α>0,
这与sin2α=－8/9矛盾，
所以这句话错误。

Answer 3

sinα+cosα=√2sin(α+45°)
因为α∈（0，90°）
所以α+45° ∈（45°，135°），
故1<√2sin(α+45°)<√2
故不存在α∈（0，90°），使sinα+cosα=1/3

Answer 4

楼上说错了，因为它的最小值是1。