Question

已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B 为两切点，那么PA*PB的最小值为？

麻烦把每一步都解释一下，谢谢！

Answer 1

解题就是跟题目对话，跟命题人对话。这道题的命题意图主要考察向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考察最值的求法——判别式法，同时也考察学生综合运用数学知识解题的能力及运算能力。
【解析】图中第一步需要解释的有两点
第一点。向量公式：向量a·向量b=|a|•|b|•cos〈a,b〉(夹角）
第二点。PA=PB的原因：A，B为切点所以得到 ∠PAO ∠PBO为直角
△PAO △PBO 为直角三角形 且全等（相同斜边 相等的直角边）
或者切线长定理 ：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
②三角形的余弦定理,例如三角形ABC中，A为内角，abc为对应的边，cosA=(b²+c²-a²)/2bc
③∵|PA|=|PB| ∴|PA|的平方可与分子PA•PB约去，分母为2PA²-AB²
④勾股定理：PA²=OP²-OA² ,OA=R=1
设直线AB与X轴的交点为M，有 AM²=OA²-OM²=1-d² ，AB=2AM
⑤化简④，再用均值不等式，公式：a²+b²≥2ab
⑥OA²=d•OP 射影定理

其实可以这样写，更加清楚
设PA=PB=X（x＞0），∠APO=α，则∠APB=2α，有勾股定理得PO=根号（1+x^2），
sinα=1/根号（1+x^2），
向量PA·向量PB=|PA|·|PB|cos2α=x^2（1-sin^2α）={x^2（x^2-1）}/1+x^2=（x^4-x^2）/（1+x^2），令向量PA·向量PB=y，则y==（x^4-x^2）/（1+x^2），
即x^4-（1+y）x^2-y=0，由x^2是实数∴△={-（1+y）}^2-4×1×（-y）≥0，y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2
故（向量PA·向量PB）min=-3+2√2

好啦。大功告陈
很高兴又见到你

Answer 2

PA*PB=PA²*COS∠APB ①
=PA²*(PA²+PB²-AB²)/(2*PA*PB) ②
=PA²-AB²/2 ③
=OP²-1-1/2*4*(1²-d²) ④
=OP²+2d²-3≥2√(OP²*2d²)-3 [√表示平方根] ⑤
≥2√2-3 ⑥
OA²=d*OP=1 ⑦
根据圆的切线性质，得到 PA=PB
再根据向量性质得到①

根据余弦定理，得 AB²=PA²+AB²-2*PA*PB*COS∠APB
∴得到COS∠APB =(PA²+AB²-AB²)/(2*PA*PB)
从而得到 ②
化简得到 ③
根据勾股定理，得到 PA²=OP²-OA²=OP²-1
设AB与OP相交于C点
AB²=(2AC)²=4AC²
又AC²=OA²-d²=1²-d²
AB²=4*(1²-d²)
从而得到 ④
根据不等式性质有 a²+b²≥2√ab [√表示平方根]
因此 OP²+2d²≥2√(OP²*2d²)
从而得到 ⑤
在直角△AOC与AOP中
∠AOC=AOP
∴△AOC与AOP相似
有 OA/OC=OP/OA
即 OA²=OC*OP=d*OP
∵OA=1
∴d*OP=1
从而得到 ⑦
代入 ⑤化简得到⑥。

Answer 3

解：设PA与PO的夹角为a，则|PA|=|PB|=1 tanα
y= PA • PB =| PA || PB |COS2α
=1 (tanα)2 •cos2α=cos2α sin2α •cos2α
=1+cos2α 1-cos2α •cos2α
记cos2a=u．则y=u(u+1) 1-u =(-u-2)+2 1-u =-3+(1-u)+2 1-u
≥-3+2 2
即 PA • PB 的最小值为-3+2 2
故答案为：-3+2 2

Answer 4

楼主写题目时向量的箭头注意标号，第2行的

Answer 5

=76