Question

已知圆O的半径为1,PA,PB为该圆的两条切线.A,B为两切点.那么(向量)PA×(向量)PB的最小值为多少?

麻烦把每一步都解释一下，谢谢！

Answer 1

解题就是跟题目对话，跟命题人对话。这道题的命题意图主要考察向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考察最值的求法——判别式法，同时也考察学生综合运用数学知识解题的能力及运算能力。
【解析】图中第一步需要解释的有两点
第一点。向量公式：向量a·向量b=|a|•|b|•cos〈a,b〉(夹角）
第二点。PA=PB的原因：A，B为切点所以得到 ∠PAO ∠PBO为直角
△PAO △PBO 为直角三角形 且全等（相同斜边 相等的直角边）
或者切线长定理 ：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
②三角形的余弦定理,例如三角形ABC中，A为内角，abc为对应的边，cosA=(b²+c²-a²)/2bc
③∵|PA|=|PB| ∴|PA|的平方可与分子PA•PB约去，分母为2PA²-AB²
④勾股定理：PA²=OP²-OA² ,OA=R=1
设直线AB与X轴的交点为M，有 AM²=OA²-OM²=1-d² ，AB=2AM
⑤化简④，再用均值不等式，公式：a²+b²≥2ab
⑥OA²=d•OP 射影定理

其实可以这样写，更加清楚
设PA=PB=X（x＞0），∠APO=α，则∠APB=2α，有勾股定理得PO=根号（1+x^2），
sinα=1/根号（1+x^2），
向量PA·向量PB=|PA|·|PB|cos2α=x^2（1-sin^2α）={x^2（x^2-1）}/1+x^2=（x^4-x^2）/（1+x^2），令向量PA·向量PB=y，则y==（x^4-x^2）/（1+x^2），
即x^4-（1+y）x^2-y=0，由x^2是实数∴△={-（1+y）}^2-4×1×（-y）≥0，y^2+6y+1≥0
解得y≤-2√2-3或y≥-3+2√2
故（向量PA·向量PB）min=-3+2√2

好啦。大功告陈

Answer 2

①向量公式：a向量·b向量=|a|•|b|•cos〈a,b〉(夹角）；
|PA|=|PB| 【切线长定理 ：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 ；/也可用三角形全等得】
②三角形的余弦定理,例如三角形ABC中，A为内角，abc为对应的边，cosA=(b²+c²-a²)/2bc
③∵|PA|=|PB| ∴左边PA的模的平方可与分子PA•PB约去，分母为2PA²-AB²
④勾股定理：PA²=OP²-OA² ,OA=R=1
设直线AB与X轴的交点为M，有 AM²=OA²-OM²=1-d² ，AB=2AM
⑤化简④，再用均值不等式，公式：a²+b²≥2ab
⑥OA²=d•OP 射影定理

Answer 3

我自己做的，说的比较清楚，很容易看懂的！

Answer 4

第一步利用向量点乘公式（题目写成X乘了，两者有本质区别）
第二步利用三角形的余弦公式 一边的平方=另外两边的平方和 - 2*两边的成绩*这一边所对角的余弦值
第三步利用直角三角形勾股定理分别转化掉 PA和AB
第四步利用重要不等式 a+b>=2*根下（a*b)

Answer 5

AAA