Question

已知函数f(x)=e^x-a(x-1),x属于R,记函数g(x)=f(2x),设函数y=g(x)的图像C与y轴交于P点，曲线C在P点处的切线

两坐标轴所围成图形的面积为S（a)。求当a>1时，S(a)的最小值。

Answer 1

f(x)=e^x-a(x-1)=e^(2x/2)-a((2x/2)-1)
g(x)=f(2x)=e^(x/2)-a((x/2)-1)
P点为g(x)的图像C与y轴交点,所以P(0,1+a),
g'(x)=e^(x/2)/2-a/2
g'(0)=(1-a)/2
所以曲线C在P点处的切线为y=(1-a)x/2+1+a,与x轴的交点设为Q((2+2a)/(a-1),0),
当a>1时，该点在y轴右侧,
S(a)=yP*xQ/2=(1+2a+a^2)/(a-1)
S'(a)=[(2a+2)(a-1)-(1+2a+a^2)]/(a-1)^2=(a^2-2a-3)/(a-1)^2=[(a-1)^2-4]/(a-1)^2=1-4/(a-1)^2
当1<a<3时S'(a)<0,当a>3时S'(a)>0,
所以当a=3时S(a)有最小值,S(3)=8