Question

一道数学题（不等式选讲）

Answer 1

已知f(x)=x|x-a|-2
(1)当a=1时，解决不等式f(x)<|x-2|
(2)当x∈(0,1]时，f(x)<1/2x^2-1恒成立，求实数a的取值范围。设|a|<1，函数f(x)=ax^2+x-a (-1<=x<=1)，证明|f(x)|<=5/4
(1)解析：a=1,则x|x-1|-2-|x-2|<0
当x<1时,x(1-x)+x-2<0
x^2-2x+2>0==>x∈R，∴x<1
当1<=x<=2时：x(x-1)-2+x-2<0
X^2-4<0==> ∴1<=x<2
当x>2时：x(x-1)-2-x+2<0
X^2-2x<0==>x∈(0,2),∴无解
综上: x∈(-∞,2)
(2)解析：∵x∈(0,1]时，f(x)<1/2x^2-1恒成立
x|x-a|-2-1/2x^2+1<0
当x<a时，-3/2x^2+ax-1<0
a<(3/2x^2+1)/x
令h(x)= (3/2x^2+1)/x
H’(x)= (3/2x^2-1) /x^2=0==>x1=-√6/3,x2=√6/3
∴h(x)在x1=-√6/3处取极大值，h(x)在x2=√6/3处取极小值h(√6/3)= √6
∵x∈(0,1]
∴a∈(-∞, √6) 满足-3/2x^2+ax-1<0

当x=a时，-1/2x^2-1<0
不等式解集为R
∴x=a 满足-3/2x^2+ax-1<0
即a∈(0,1]时，满足-3/2x^2+ax-1<0

当x>a时，1/2x^2-ax-1<0
a>(1/2x^2-1)/x
令h(x)= (1/2x^2-1)/x
H’(x)= (1/2x^2+1)/x^2>0 ,函数h(x)单调增
∵x∈(0,1]
a> h(1)=-1/2时，满足1/2x^2-ax-1<0

综上：a∈(-1/2, √6)时，满足在区间(0,1]上x|x-a|-2-1/2x^2+1<0

Answer 2

1.原不等式化为：x|x-1|-2<|x-2|
当x≤1时：x(1-x)-2<2-x
(x-1)^2+3>0 恒成立 ∴x≤1
当1<x<2时：x(x-1)-2<2-x
-2<x<2 ∴1<x<2
当≥2时：x(x-1)-2<x-2
无解
综上: x∈(-∞,2)

Answer 3

(1)当X≤1时，f(x)=x*(1-x)-2
绝对值（我不会打绝对值的符号）x-2=2-x
所以有不等式x*(1-x)-2<2-x解得，x不等于2（我也不会打不等于的符号，你凑合看吧……）
即x<2或x>2,因为x≤1,所以x≤1
当1<x<2时，f(x)=x(x-1)-2,绝对值x-2=2-x
所以有不等式x*(x-1)-2<2-x,解得-2<x<2，因为1<x<2,所以1<x<2
当x>2时，f(x)=x*(x-1)-2，绝对值x-2=x-2
所以有x*(x-1)-2<x-2,解得0<x<2,因为x>2,所以无解。
综上所述，当a=1时，x<2