Question

已知等腰△ADC中，AD=AC，B是线段DC上的一点，连接AB，且有AB=DB。

（1）求证△ABD相似于△CAD
（2）若ABC的周长是15厘米。且AB比AC=2比3.求AC的长。
（3）若AB比DC=1比3，求tanC的值。

（还有过程。谢谢。）

Answer 1

1、∵∠CAD=∠CAB+∠BAD
又∵AB=DB
∴∠BAD=∠D
同理∠D=∠C
∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠C=∠ABD
∵∠CAD=∠ABD，AD/BD=AC/BA
∴△ABD∽△CAD
2、设AC=x,则AD=x
∵AB比AC=2:3
∴AB=(2/3)*x
∴DB=AB=2/3x
∵△ABD∽△CAD
∴AB/CA=AD/CD
∴CD=AD*CA/AB=x^2/(2/3x)=1.5x
∴CB=CD-DB=1.5x-2/3x=5/6x
∴ABC的周长=AB+BC+CA=2/3x+5/6x+x=2.5x
又∵ABC的周长是15厘米
∴2.5x=15
∴x=6
∴AC的长为6厘米
3、设AB=x,则DB=AB=x,DC=3x
∵△ABD全等△CAD
∴AB/CA=AD/CD
∴AB*CD=AD*CA
即3x^2=AC^2
∴AC=根号3 x
∵DC=3x,DB=x
∴BC=DC-DB=2x
∵AC^2+AB^2=4x^2=BC^2
∴∠BAC=90
∴tanC=AB/AC=根号3/3

Answer 2

1、∵∠CAD=∠CAB+∠BAD
又∵AB=DB
∴∠BAD=∠D
同理∠D=∠C
∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=∠CAB+∠C=∠ABD
∵∠CAD=∠ABD，AD/BD=AC/BA
∴△ABD∽△CAD
2、设AC=x,则AD=x
∵AB比AC=2:3
∴AB=(2/3)*x
∴DB=AB=2/3x
∵△ABD∽△CAD
∴AB/CA=AD/CD
∴CD=AD*CA/AB=x^2/(2/3x)=1.5x
∴CB=CD-DB=1.5x-2/3x=5/6x
∴ABC的周长=AB+BC+CA=2/3x+5/6x+x=2.5x
又∵ABC的周长是15厘米
∴2.5x=15
∴x=6
∴AC的长为6厘米
3、设AB=x,则DB=AB=x,DC=3x
∵△ABD∽△CAD
∴AB/CA=AD/CD
∴AB*CD=AD*CA
即3x^2=AC^2
∴AC=√3 x
∵DC=3x,DB=x
∴BC=DC-DB=2x
∵AC^2+AB^2=4x^2=BC^2
∴∠BAC=90
∴tanC=AB/AC=√3/3

Answer 3

1、证明：因为AB=DB，所以∠ADB=∠BAD,
又因为∠ADB=∠CDA
所以△ABD相似于△CAD
2、因为△∠ADB=∠CDA
所以AB/AC=BD/AD=AD/CD=2/3
有因为AD=AC
所以BD=2/3AC,CD=3/2AC,AB=2/3AC;
则BC=CD-BD=3/2AC-2/3AC=5/6AC;
AC+BC+AB=AC+5/6AC+2/3AC=5/2AC=15;
则AC=6
3、AB/DC=1/3则AB=1/3CD
△ADB相似于△BAD
所以AB/AC=AD/CD
所以CD/AC=根号3，cosC=1/2CD/AC=根号3/2
所以∠C=30°，则tanC=根号3/3.