Question

数列问题。。

数列{an}中,已知对任意自然数n，a1+a2+a3+...+an=(2^n)-1,则a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2=?

Answer 1

Sn=2^n-1 ，a1=2^1-1=1
S(n-1)=2^(n-1)-1
an=Sn-S(n-1)=2^n(1-1/2)=2^(n-1)，n≥2
当n=1时，a1=1，满足
∴an=2^(n-1)
an^2=2^(2n-2)=4^(n-1) 等比数列，首相1，公比4
Tn=a1^2+a2^2+a3^2+...+an^2
=1*(1-4^n)/(1-4)
=（4^n-1）/3

Answer 2

n=1时,有a(1)=2^(1)-1=1,
n=2时,a(1)+a(2)=1+a(2)=2^(2)-1=3,a(2)=2.
下面用归纳法证明:a(n)=2^(n-1), n=1,2,...
设1<=n<=k时,有a(n)=2^(n-1), n=1,2,...,k.
则,n=k+1时,有a(1)+a(2)+...+a(k)+a(k+1)=1+2+...+2^(k-1)+a(k+1)=2^(k)-1+a(k+1)=2^(k+1)-1,
a(k+1)=2^(k+1)-2^(k)=2^(k),
因此,n=k+1时,也有a(k+1)=2^(k+1-1)成立.
所以,由归纳法知,总有a(n)=2^(n-1), n=1,2,...
这样,
[a(1)]^2+[a(2)]^2+...+[a(n)]^2=[1]^2+[2]^2+...+[2^(n-1)]^2=1+4+...+4^(n-1)=[4^n-1]/(4-1)=[4^n-1]/3, n=1,2,...