Question

高中数学：关于直线与圆相切的一个问题

已知圆C的方程为：（x－1）²＋y²＝1，若过点（3，0）的直线和圆C相切，则直线的斜率为多少？

请说出答案，并写下解题思路和过程！谢谢！

Answer 1

根号下3/3 或 -根号下3/3

过程太长 给个思路：
由圆方程可知圆心为（1，0） r=1
可设切线方程为AX+BY+C=0 移项即为：y=（- A / B）*x-（C/B）[此处可看出所求斜率k即为- A / B]
带入点（3，0）可得AX+BY-3A=0
已知上式与圆心，用点到直线的距离公式可化简得A / B=根号下3/3 则k=- A / B=-根号下3/3
画图可知此切线与圆有两个切点 因此k有正负两解。

Answer 2

设过点（3，0）的直线方程为
y-0=k(x-3)
y=kx-3k
代入圆方程得(x-1)²+(kx-3k)²=1
x²-2x+1+k²x²-6k²x+9k²=1
(1+k²)x²-(2+6k²)x+9k²=0
因为相切，所以只有一解，用判别式
△=b^2-4ac=0
(2+6k²)^2-4*(1+k²)*9k²=0
4+24k²+36k的4次方-36k²+36²的4次方=0
12k²=4
k²=1/3
k=√3/3或k=-√3/3

Answer 3

y-0=k(x-3)
kx-y-3k=0

圆心(1,0)到切线距离等于半径r=1
则|k-0-3k|/√(k²+1)=1
平方
4k²=k²+1
k²=3
k=-√3/3,k=√3/3

Answer 4

①几何法：
作图，直线与圆相切有2条。设圆心O（0,0）,P(3,0),切点为A，则
OA=1(半径)，OP=2，
sin(角APO)=OA/OP=1/2,
即角APO=30°，k1=tan(180°-角APO)=tan(150°)=-√3/3
另一角为-30°，k2=tan(-150°)=√3/3
②代数法：
设由y=k(x-3),与（x－1）²＋y²＝1联立方程，使得△=0，
k=√3/3或 -√3/3