Question

求解一道高一数学题（急）

以知定义在（0，+∞）上的函数f(x)，对于任意m,n∈（0，+∞），都有f(m·n)=f(m)+f(n)成立，且当x>1时，f(x)<0
（1）求证1是函数f(x)的零点
（2）证明f(x)是（0，+∞）上的减函数
（3）当f(2)=1/2时，解不等式f(x^2-3x)>1

很急，解决了加分，谢谢

Answer 1

(1)，因为 f(m·n)=f(m)+f(n)，
在上式中，令m=n=1，即f(1)=f(1)+f(1)，
可得：f(1)=0。
所以1是函数f(x)的零点。
(2)，在f(m·n)=f(m)+f(n)中，令n=1/m，则：
f(m)+f(1/m)=f(1)=0，f(m)=-f(1/m)。
因为对于任意m∈（0，+∞），
当m>1时，0<1/m<1，故 0<1/m<m；
当0<m<1时， 1/m>1，故 0<m<1/m 。
又 当x>1时，f(x)<0，
而 当m>1时，0<1/m<m，有f(m)<0，f(1/m)>0， f(m)<f(1/m)；
当0<m<1时，0<m<1/m，有f(1/m)<0，f(m)>0， f(m)>f(1/m)；
所以由减函数的定义，可知：f(x)是（0，+∞）上的减函数。
(3)，f(2)=1/2，则：f(4)=f(2)+f(2)=1，
f(x^2-3x)>1=f(4)，
因为f(x)是（0，+∞）上的减函数，
所以 x^2-3x<4，
(x+1)(x-4)<0，
-1<x<4。
又x∈（0，+∞），
所以 0<x<4。
故不等式的解集为：（0，4）。