Question

如图1，抛物线y=想Y=x^2+bx+c与x轴交于A,B两点,与Y轴交于点C(0,2),连接AC,若tan∠OAC=2。

（1）求抛物线的解析式。
（2）在抛物线的对称轴l上是否存在点P,使∠AOC=90°，如存在求出点P坐标，若不存在，请说明理由。
（3）如图二所示连接BC，M是线段BC上（不与B,C重合）的一个动点，过点M做直线l’‖l，交抛物线雨点N，连接CN，BN，设点M的横坐标为t，当t为何值时，△BCN的面积最大，最大为多少？

Answer 1

(1)抛物线y= x^2＋bx＋c与y轴交于点C(0，2)，
∴c=2.
又与x轴交于A、B两点，tan∠OAC=OC/OA=2.
∴OA=1,A(1,0),
∴b=-3,y=x^2-3x+2,
(2)对称轴：x=3/2. 若∠APC=90°，则P在以AC为直径的圆上，
AC的中点是(1/2,1),AC=√5，该圆的方程是
（x-1/2)^2+(y-1)^2=5/4，
把x=3/2代入上式，解得y1=3/2,y2=1/2.
∴P的坐标是(3/2,3/2)或(3/2,1/2).
(3)B(2,0).xN=xM=t,yN=t^2-3t+2,
CN的表达式为y=(t-3)x+2,交x轴于D(2/(3-t),0),看图知，
S△BCN=S△BDC+S△BDN=[2-2/(3-t)][2-(t^2-3t+2)]/2
=2t-t^2=1-(t-1)^2<=1,
当t=1时，△BCN的面积最大，最大面积为1.