Question

已知AD是△ABC的边BC上的高，AB+BD=AC+CD,求证：△ABC为等边三角形

别用勾股定理 没学的

Answer 1

只能证明△ABC为等腰三角形(有能证明△ABC为等边三角形,题目有错)

Answer 2

由勾股定理有
AB^2 - BD^2 = AD^2 = AC^2 - CD^2
所以(AB+BD)(AB-BD)=(AC+CD)(AC-CD)
因为AB-BD=AC-CD
所以AB+BD=AC+CD
所以AB=AC

Answer 3

如图，延长Ab到E，ac到f，使得be=bd，cf=cd，连接ef，延长ad交ef于点g。

因为ab+bd=ac+cd，be=bd，cf=cd，

所以ae=af。

在直角三角形aeg与afg中，

ag=ag

ae=af

所以aeg与afg全等

所以角ead=fad

即∠bad=∠cad

在直角三角形adb，与直角三角形adc中，

∠bad=∠cad

ad=ad

所以直角三角形adb，与直角三角形adc全等

所以bd=cd  ab=ac

所以△abc为等腰三角形

若需证明△ABC为等边三角形，则需给出更多的条件。

Answer 4

过B,C做EB=AB,FC=AC
∵AB++BD=AC+CD
∴DE=FD
又∵DE=DF,∠ADE=∠ADF,DE=DF
∴△EAD≌△FAD
∴AE=AF
∴∠E=∠F
又∵EB=AB,FC=AC
∴∠E=∠EAB=∠F=∠FAC
∴AB=AC
∴△ABC为等腰三角形