Question

求解高一函数数学题，满意再给分。

f(x)定义域为R，f(x)值不恒为0，对任意实数m,n总有f(m)f(n)=mf(n/2)+nf(m/2)成立。
（1）求f(0)的值。
（2）求证：t*f(t)≥0,对任意实数t成立。
（3）求满足所有满足条件的f(x)。
要详细规范的过程有满意的再给分。
打错了，所有满足条件的f(x).
第三问要写过程，一楼的第二问没明白，最好能解释一下。

Answer 1

(1) 令m=n=0,则f(0)f(0)=0,所以f(0)=0
(2)令m=n=2t代入，有[f(2t)]²=4tf(t)，4tf(t)=[f(2t)]²≥0，于是t*f(t)≥0
(3)m=n=2x代入，有f(2x)f(2x)=4xf(x)
由于f(x)值不恒为0，可知当x≠0时，f(x)≠0，且f(x)为奇函数
设f(x)=kx
代入得4k^2x^2=4kx^
k=1
于是f(x)=x
当f(x)含有x的高次幂时，显然不成立，故满足条件的f(x)只有一个

Answer 2

解：
（1）令m=n=0,则f(0)f(0)=0,所以f(0)=0.
（2）令m=n,则f(n)f(n)=2nf(n/2),再令t=n/2,则f(2t)f(2t)=4tf(t),因为f(2t)f(2t))≥0,所以
t*f(t)≥0,对任意实数t成立
（3）这一问是不是举一个例子啊？如果是的话，那就f(x)=x了。

Answer 3

抽象函数，一般可以采用赋值法。
1、令m=n=0代入，有f(0)=0；
2、令m=n=2x代入，有[f(2x)]²=2xf(x)，从而有tf(t)=(1/2)[f(2t)]²≥0，得证；
3、确实想不出来。