Question

线性微分方程组中，假设求出了通解，用常数变易法求特解的本质是什么？为什么这样有效。

从线代的角度怎么理解？常数变易法到底在做什么？本质是对未知的y进行代换吗？

Answer 1

若是Y关于t的函数，从其数学本质上讲是利用解的叠加原理，通过把系数矩阵设成一个关于t的变量矩阵，寻求一个满足初始条件的t来求得通解的系数矩阵。
从线性代数的角度讲可以直观的理解：通解的求解过程其实质是求得了一组不带初始条件的基底，这个基底下的所有向量组都是原方程的解，如果把解比喻成坐标系的话，我们的通解就得到了这个坐标系的坐标轴，任取任意的坐标得到的值都是原方程的解，但是如果加一个初始条件，我们就能确定出来一组确切的坐标求得同时满足这个初始条件和方程组的解，常数变易法就是这个求解坐标的过程，我们设坐标也是关于t的某种方程形式，一步一步带回初始条件与原方程确定出来这个方程中的t求得坐标，坐标乘回坐标轴就得到了特解。