Question

证明题求思路，是否要用到拉格朗日中值定理？

设任意函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且a<x1<x2<b,c1,c2为任意正常数,求证在[a,b]内至少有一点d,使等式c1·f(x1)+c2·f(x2)=(c1+c2)·f(d).怎么证明啊？求思路...

Answer 1

拉格朗日中值定理是微分相关的定理，本题中不牵涉到微分，只提到连续，并不明确是否可导。
因此不能用拉格朗日中值定理
看到连续，一般考虑介值定理（或其特殊情况：零值定理）

证明：

令g(x)=c1·f(x1)+c2·f(x2)-(c1+c2)·f(x)
则g(x)亦在闭区间[a,b]上连续
g(x1)=c1·f(x1)+c2·f(x2)-(c1+c2)·f(x1)=c2·[f(x2)-f(x1)]
g(x2)=c1·f(x1)+c2·f(x2)-(c1+c2)·f(x2)=c1·[f(x1)-f(x2)]
∵c1,c2为任意正常数，即c1>0, c2>0
∴g(x1)和g(x2)异号
由零值定理知，在[a,b]内至少有一点d,使g(d)=0
即c1·f(x1)+c2·f(x2)-(c1+c2)·f(d)=0
c1·f(x1)+c2·f(x2)=(c1+c2)·f(d)

证毕

Answer 2

利用闭区间上连续函数的性质。
因为函数在闭区间上连续，所以必存在最大值和最小值，设为M，m
(c1+c2)m<=c1·f(x1)+c2·f(x2)<=(c1+c2)·M,注：c1,c2为正常数，故可保证大小于符号方向。
由介值定理知，在[a,b]内至少有一点d，使得c1·f(x1)+c2·f(x2)=(c1+c2)·f(d).