Question

二次函数 数学题

已知抛物线y=1/2x2-2x+1的顶点为P，A为抛物线顶点与y 轴的交点，过点A与y轴垂直的直线与抛物线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点o’，过点P和B的直线L交y轴于点c，连接oc’，将三角形ACO'沿O'C翻折后，点A落在点D上
抛物线上是否存在点Q使得S三角形DQC=S三角形DPB请写出所有符合条件点Q坐标

Answer 1

先配方，y=(1/2)x^2-2x+1=(1/2)(x-2)^2-1，所以，顶点P(2,-1)，对称轴x=2
A是与y轴交点，所以点A(0,1)，与y轴垂直表示平行于x轴，所以点B(4,1)，点o(2,1)
PB点坐标知道，PB的直线方程是y=x-3，或x-y-3=0，与y轴交点C(0,-3)
oC的坐标知道，oC的直线方程是y=2x-3，因为A沿oC对称到D
所以AD与oC垂直，k=-(1/2)，且过点A(0,1)，所以直线AD方程是y=-(1/2)x+1
AD：y=-(1/2)x+1 与oC：y=2x-3交点(1.6,0.2)是AD中点
A点坐标知道，所以D点坐标是D(3.2,-0.6)，DC方程是y=(3/4)x-3，或者3x-4y-12=0
点D到PB(x-y-3=0)的距离是 |3.2-(-0.6)-3| / [√(1^2+1^2)]=(2*√2)/5
PB的长度是2√2，所以△DPB的面积S=(1/2)*(2√2)*[(2*√2)/5]=4/5

D(3.2,-0.6)，C(0,-3)，DC的长度是4
若存在点Q，则Q到DC的距离是d=2S/DC=2/5
设点Q坐标(x,(1/2)x^2-2x+1)，DC直线方程3x-4y-12=0
则点Q到DC的距离是 |3x-4[(1/2)x^2-2x+1]-12| / [√(3^2+4^2)]= |2*(x^2)-11x+16| / 5 =2/5
所以|2*(x^2)-11x+16|=2
即2*(x^2)-11x+16=2，得到x=5(y=7/2)或x=1/2(y=1/8)
或者2*(x^2)-11x+16=-2，无解
所以存在点Q，坐标分别是是(1/2,1/8)，(5,7/2)

Answer 2

先配方，y=(1/2)x^2-2x+1=(1/2)(x-2)^2-1，所以，顶点P(2,-1)，对称轴x=2
A是与y轴交点，所以点A(0,1)，与y轴垂直表示平行于x轴，所以点B(4,1)，点o(2,1)
PB点坐标知道，PB的直线方程是y=x-3，或x-y-3=0，与y轴交点C(0,-3)
oC的坐标知道，oC的直线方程是y=2x-3，因为A沿oC对称到D
所以AD与oC垂直，k=-(1/2)，且过点A(0,1)，所以直线AD方程是y=-(1/2)x+1
AD：y=-(1/2)x+1 与oC：y=2x-3交点(1.6,0.2)是AD中点
A点坐标知道，所以D点坐标是D(3.2,-0.6)，DC方程是y=(3/4)x-3，或者3x-4y-12=0
点D到PB(x-y-3=0)的距离是 |3.2-(-0.6)-3| / [√(1^2+1^2)]=(2*√2)/5
PB的长度是2√2，所以△DPB的面积S=(1/2)*(2√2)*[(2*√2)/5]=4/5

D(3.2,-0.6)，C(0,-3)，DC的长度是4
若存在点Q，则Q到DC的距离是d=2S/DC=2/5
设点Q坐标(x,(1/2)x^2-2x+1)，DC直线方程3x-4y-12=0
则点Q到DC的距离是 |3x-4[(1/2)x^2-2x+1]-12| / [√(3^2+4^2)]= |2*(x^2)-11x+16| / 5 =2/5
所以|2*(x^2)-11x+16|=2
即2*(x^2)-11x+16=2，得到x=5(y=7/2)或x=1/2(y=1/8)
或者2*(x^2)-11x+16=-2，无解
所以存在点Q，坐标分别是是(1/2,1/8)，(5,7/2)

Answer 3

先配方，y=(1/2)x^2-2x+1=(1/2)(x-2)^2-1，所以，顶点P(2,-1)，对称轴x=2

Answer 4

先配方，y=(1/2)x^2-2x+1=(1/2)(x-2)^2-1，所以，顶点P(2,-1)，对称轴x=2
A是与y轴交点，所以点A(0,1)，与y轴垂直表示平行于x轴，所以点B(4,1)，点o(2,1)
PB点坐标知道，PB的直线方程是y=x-3，或x-y-3=0，与y轴交点C(0,-3)
oC的坐标知道，oC的直线方程是y=2x-3，因为A沿oC对称到D
所以AD与oC垂直，k=-(1/2)，且过点A(0,1)，所以直线AD方程是y=-(1/2)x+1
AD：y=-(1/2)x+1 与oC：y=2x-3交点(1.6,0.2)是AD中点
A点坐标知道，所以D点坐标是D(3.2,-0.6)，DC方程是y=(3/4)x-3，或者3x-4y-12=0
点D到PB(x-y-3=0)的距离是 |3.2-(-0.6)-3| / [√(1^2+1^2)]=(2*√2)/5
PB的长度是2√2，所以△DPB的面积S=(1/2)*(2√2)*[(2*√2)/5]=4/5