Question

数学函数一道，高分加分求！急！~~~~

已知抛物线的顶点坐标为M(1.4),且经过N(2.3).与X轴交于A.B两点(点A在点B左侧),与Y轴交与点C
(1)求抛物线的解析试及点A.B.C的坐标
(2)若直线Y=KX+T经过C.M两点,且与X轴交于点D,试证四边CDAN是平行四边形
(3)点P在抛物线的对称轴上运动,请探索:在X轴上方是否存在这样的P点,使以P为圆心的圆经过A.B两点,并且与直线CD相切,若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

Answer 1

解：设抛物线方程为：y=ax^2+ bx +c
顶点为M，则依题意有：-2a/b =1
a+b+c=4
4a+2b+c=3
解得：a=-1 b=2 c=3
即抛物线方程为：y=-x^2 +2x +3
令y=0 解得： x=-1 或 x=3 即A点坐标为（-1,0）B点坐标为（3，0） 令x=0 解得y=3 所以C点坐标为（0,3）
第二问：由第一问知道C 和N处于同一条水平线上（两点纵坐标相同）即有 CN‖AD
额 下面这个K T 是任意数嚒？

第三问解析几何太复杂了吧 假设存在，然后用向量推吧 好久没做解析几何了计算能力和技巧都忘了很多了，不好意思啊LZ！！~~~

Answer 2

1）设抛物线方程为y=ax^2+ bx +c，A（x1,0）,B(x2,0).
令y=0有ax^2+ bx +c=0可得x1+x2=-b/a,而抛物线的顶点坐标为M(1,4)，所以有(x1+x2)/2=1故
-b/a=2······1
将M(1.4),N(2.3)代入抛物线方程：
a+b+c=4·····2
4a+2b+c=3····3
由1，2，3得：a=-1 b=2 c=3即即抛物线方程为：y=-x^2 +2x +3，C点坐标为（0,3）
2）由于直线Y=KX+T经过C（0,3）,M(1,4)两点，所以：
3=T,4=K+T```````所以直线方程为Y=X+3由点C(0,3),N(2,3)可知CN//x轴而DA在x轴上所以，
CN//DA
对y=-x^2 +2x +3，令y=0,可得A(-1,0),B(3,0).则直线A（-1,0）,N(2,3)斜率K'=(3-0)/(2+1)=1
即直线CD与直线AN斜率相等所以CD//AN，又CN//DA所以四边形CDAN是平行四边形
3）可设P点为（1,y）（y>0）假设存在点P，有：P到直线CD得距离等于半径PA(或PB).
CD直线方程由2）可知为X-Y+3=0
P到直线CD得距离d=|A*a+B*b+c|/√（A^2+B^2)=|1-y+3|/√(1+1)=|y-4|/√2（点到直线距离公式）
半径PA=√{[1-(-1)]^2+(y-0)^2}=√(4+y^2)（两点间距离公式）
即|y-4|/√2=√(4+y^2)，（y-4)^2/2=4+y^2````y^2+8y-8=0,y^2+8y+16-16-8=0
即(y+4)^2-24=0`````y1=√24-4>0,y2=-√24-4<0而P点在X轴上方所以存在点P坐标为(1,√24-4)

Answer 3

1. y=a(x-1)^2+4
x=2,y=a+4=3,a=-1
y=-(x-1)^2+4=-x^2+2x+3
A(-1,0),B(3,0),C(0,3)

2. y=kx+t
3=t,4=k+t,k=1,t=3
y=x+3
D(-3,0)
四个点的坐标都出来了，可以证明平行

3. p：x=1，P(1,b)
(x-1)^2+(y-b)^2=r^2
代入A,B点的坐标，求出b,r
再验证是否与直线CD相切。
相切，存在
反之不存在。