Question

几道关于二次函数的题。急！

1.已知二次函数 f (x) = ax² + bx + c (a≠0) 满足条件 f (-x + 5) =f (x - 3)，f(2)=0，且方程f(x)=x有两个相等的实根，问：是否存在实数m，n (m＜n），使得f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[3m，3n]，如果存在，求出m，n的值，如果不存在，说明理由。

2.已知函数f(x) = x 分之 x²+2x+a，x∈[1，+∞]

（1）当a=二分之一时，判断并证明f(x)的单调性

（2）当a=-1时，求函数f(x)的最小值

3.设函数f(x)对任意x、y∈R，都有f( x + y)=f(x) + f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)= -2

（1）证明：f(x)为奇函数

（2）证明：f(x)在R上为减函数

（3）若 f( 2x + 5 ) + f( 6 - 7x ) ＞ 4 ，求x的取值范围

Answer 1

1.已知二次函数 f (x) = ax² + bx + c (a≠0) 满足条件 f (-x + 5) =f (x - 3)，f(2)=0，且方程f(x)=x有两个相等的实根，问：是否存在实数m，n (m＜n），使得f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[3m，3n]，如果存在，求出m，n的值，如果不存在，说明理由。
解析：∵f (x) = ax^2+bx+c (a≠0) 满足条件 f (-x+5)=f(x-3)，f(2)=0
f (5-x) = ax^2-(2a+1)5x+25a+5b+c=f (x-3) = ax^2+(b-6a)x+9a-3b+c
得a=-5/2, b=5, c=0
∴f(x)=-5/2x^2+5x
设存在实数m，n (m＜n）
f(x)=-5/2x^2+5x=3x==>x1=0,x2=4/5
∴m=0,n=4/5
2.已知函数f(x) = x 分之 x²+2x+a，x∈[1，+∞]
（1）当a=二分之一时，判断并证明f(x)的单调性
（2）当a=-1时，求函数f(x)的最小值
(1)解析：∵f(x)=(x^2+2x+a)/x，x∈[1，+∞), a=1/2
令f’(x)=(4x^2-2)/(2x)^2=0==>x1=-√2/2, x2=√2/2
f(x)在x1处取极大值，在x2处取极小值
∴当x<-√2/2或x>√2/2时，单调增；当-√2/2<=x<0或0<x<=√2/2时，单调增减；
∵x∈[1,+∞)
∴f(x) 单调增
(2)解析：∵a=-1
f(x)=(x^2+2x-1)/x==> f’(x)=(x^2+1) /x^2>0
∴函数f(x)单调增，在定义域内无最小值。

3.设函数f(x)对任意x、y∈R，都有f( x + y)=f(x) + f(y)，且x＞0时，f(x)＜0，f(1)= -2
（1）证明：f(x)为奇函数
（2）证明：f(x)在R上为减函数
（3）若 f( 2x + 5 ) + f( 6 - 7x ) ＞ 4 ，求x的取值范围
(1)证明：∵函数f(x)对任意x、y∈R，有f(x+y)=f(x)+f(y)
f(0+1)=f(0)+f(1)==>f(0)=0
f(x-x)=f(x)+f(-x)==>f(-x)=-f(x)
∴f(x)在R上为奇函数
(2)证明：∵x＞0时，f(x)＜0，∴当x<0时，f(x)>0
设x1<x2，x1-x2<0
f(x1-x2)=f(x1)+f(-x2) =f(x1)-f(x2)>0==>=f(x1)>f(x2)
∴在R上，f(x)单调减
(3)解析：∵f( 2x + 5 ) + f( 6 - 7x ) ＞ 4
f( 2x+5)+f(6-7x)=f(2x)+f(5)+f(6)+f(-7x)=f(11)+f(-5x) =f(11)-f(5x)>4
∴f(5x)<f(11)-4<0==>5x>0
∴x的取值范围：x>0

Answer 2

题多，分少啊？

Answer 3

1、解：将f（-x+5）=f（x-3）带入函数f（x）=ax^2+bx+c，得
（-10a-b）x+25a+5b=（-6a+b）x+9a-3b
故 -10a-b=-6a+b ；25a+5b=9a-3b 解得 b=-2a ………. ①
将f（2）=0带入原函数，得 4a+2b+c=0 ………. ②
由f（x）= ax^2+bx+c=x有两相等的实根，得
（b-1）^2-4ac=0 ………③
联合①②③得a=-1/2 ，b=1 ，c=0
故f（x）=-x^2/2+x 【当x=1时，f（x）得最大值1/2】
假设存在这样的m，n，讨论：
①当m＜n＜1时，f（x）在[m，n]为增函数，故f（m）=3m，f（n）=3n
解得m=-4，n=0
②当m≤1≤n时，f（x）在[m，n]中最大值为f（1）=1/2=3n，解得n=1/6与假设矛盾，故不存在这样的m，n
③当1＜m＜n时，f（x）在[m，n]为减函数，故f（m）=3n，f（n）=3m得m=n与题设矛盾，故不存在这样的m，n
综上，存在这样的m=-4，n=0，使得f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[3m，3n]。
2、解：（1）当x=1/2时，f（x）=（x^2+2x+1/2）/x，定义域为[1,+∞]
f ’（x）=[(2x+2)x-( x^2+2x+1/2)]/x^2=(x^2-1/2)/x^2
① 当f ’（x）＞0时，即x^2-1/2＞0，解得x＞√2/2
② 当f ’（x）≤0时，即x^2-1/2≤0，解得1≤x≤√2/2
综上在x∈[1，√2/2]，f（x）单调递减；x∈（√2/2，+∞），f（x）单调递增。
（2）当a=-1时，f(x)= （x^2+2x-1）/x.
f ’（x）=[(2x+2)x-( x^2+2x-1)]/x^2= (x^2+1)/x^2＞0
故f（x）在定义域内为递增函数，最小值为f（1）=2
3、解：（1）证明：令y=0，由f（x+y）=f（x）+f（y）得f（x）=f（x）+f（0），
故f（0）=0
令y=-x，同理f（0）=f（x）+f（-x）=0在任意x∈R都成立
因此f（x）为奇函数
（2）令y＞0，则x+y＞x（x∈R）， 由已知x＞0时f（x）＜0得，
f(x+y)-f(x)=f(y) ＜0
因此f（x）在R上为减函数
（3）令x=y=1，则f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=-4
f（2x+5）+f（6-7x）-4=f（2x+5+6-7x+2）=f（-5x+13）＞0=f（0）
由f（x）为减函数知-5x+13＜0，解得x＞13/5

Answer 4

1、解：将f（-x+5）=f（x-3）带入函数f（x）=ax^2+bx+c，得
（-10a-b）x+25a+5b=（-6a+b）x+9a-3b
故 -10a-b=-6a+b ；25a+5b=9a-3b 解得 b=-2a ………. ①
将f（2）=0带入原函数，得 4a+2b+c=0 ………. ②
由f（x）= ax^2+bx+c=x有两相等的实根，得
（b-1）^2-4ac=0 ………③
联合①②③得a=-1/2 ，b=1 ，c=0
故f（x）=-x^2/2+x 【当x=1时，f（x）得最大值1/2】
假设存在这样的m，n，讨论：
①当m＜n＜1时，f（x）在[m，n]为增函数，故f（m）=3m，f（n）=3n
解得m=-4，n=0
②当m≤1≤n时，f（x）在[m，n]中最大值为f（1）=1/2=3n，解得n=1/6与假设矛盾，故不存在这样的m，n
③当1＜m＜n时，f（x）在[m，n]为减函数，故f（m）=3n，f（n）=3m得m=n与题设矛盾，故不存在这样的m，n
综上，存在这样的m=-4，n=0，使得f(x)的定义域为[m，n]时，值域为[3m，3n]。
2、解：（1）当x=1/2时，f（x）=（x^2+2x+1/2）/x，定义域为[1,+∞]
f ’（x）=[(2x+2)x-( x^2+2x+1/2)]/x^2=(x^2-1/2)/x^2
① 当f ’（x）＞0时，即x^2-1/2＞0，解得x＞√2/2
② 当f ’（x）≤0时，即x^2-1/2≤0，解得1≤x≤√2/2
综上在x∈[1，√2/2]，f（x）单调递减；x∈（√2/2，+∞），f（x）单调递增。
（2）当a=-1时，f(x)= （x^2+2x-1）/x.
f ’（x）=[(2x+2)x-( x^2+2x-1)]/x^2= (x^2+1)/x^2＞0
故f（x）在定义域内为递增函数，最小值为f（1）=2
3、解：（1）证明：令y=0，由f（x+y）=f（x）+f（y）得f（x）=f（x）+f（0），
故f（0）=0
令y=-x，同理f（0）=f（x）+f（-x）=0在任意x∈R都成立
因此f（x）为奇函数
（2）令y＞0，则x+y＞x（x∈R）， 由已知x＞0时f（x）＜0得，
f(x+y)-f(x)=f(y) ＜0
因此f（x）在R上为减函数
（3）令x=y=1，则f（2）=f（1+1）=f（1）+f（1）=-4
f（2x+5）+f（6-7x）-4=f（2x+5+6-7x+2）=f（-5x+13）＞0=f（0）
由f（x）为减函数知-5x+13＜0，解得x＞13/5
高中数学就是这么烦......