Question

等腰梯形ABCD中,AB=CD,对角线AC与BD互相垂直,垂足为M.求证:CM=1/2(AD+BC).

如图所示：等腰梯形ABCD中AB=CD,BC=BD,对角线AC与BD互相垂直,垂足为M.
求证:CM=1/2(AD+BC).

Answer 1

以AB为公共边, 作一个与平行四边形ABCD相同的平行四边形ABEF,
得到大平行四边形FECD. 连AE, AC.
在三角形AEM中, 边长比AM:AE:EM=9:12:15=3:4:5,
所以三角形AEM是直角三角形.
显然, 面积S(三角形AEM)=(1/2)*9*12=54.
又三角形ABM与三角形AMC的面积相同(同高,底相同),
即: S(三角形ABM)=1/4S(平行四边形ABCD).
又S(三角形AEB)=1/2S(平行四边形ABCD) ,
所以, S(三角形AEM)=(1/2+1/4) S(平行四边形ABCD)
=3/4 S(平行四边形ABCD),
所以, S(平行四边形ABCD)=54/(3/4)=72.
以上供参考.

Answer 2

请上图。题目似乎有问题。

Answer 3

题目本来就有问题，现在没事了。事实上如果刚才看懂反证法的，应该会做的。