Question

高中数学！椭圆！

Answer 1

1(1).
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+y1=1，x2+y2=1，即y1=1-x1，y2=1-x2
∵OP⊥OQ
∴向量OP·向量OQ=x1x2+y1y2=0
y1y2=(1-x1)(1-x2)=x1x2-(x1+x2)+1
∴x1x2+y1y2=2x1x2-(x1+x2)+1=0
联立椭圆直线得
(a²+b²)x²-2a²x+a²-a²b²=0
x1x2=(a²-a²b²)/(a²+b²)，x1+x2=(2a²)/(a²+b²)
∴x1x2+y1y2=2(a²-a²b²)/(a²+b²) - (2a²)/(a²+b²) +1 =0
-2a²b²/(a²+b²)=-1
2a²b²=a²+b²
∴1/a²+1/b²=(a²+b²)/a²b²=2

(2).
1/a²+1/b²=2
∴a²=b²/(2b²-1)
√3/3≤e≤√2/2
1/3≤e²≤1/2
1/3≤c²/a²≤1/2
1/3≤(a²-b²)/a²≤1/2
1/3≤1 - b²/a²≤1/2
把a²=b²/(2b²-1)代入得
1/3≤2- 2b²≤1/2
3/4≤b²≤5/6
√3/2≤b≤√30/6
√3≤2b≤√30/3

2(1).
根据椭圆定义可得C是一个焦点在y轴上的椭圆
且2a=4，c=√3
∴b=1
∴C方程为x² + y²/4=1

(2).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1=kx1+1，y2=kx2+1
∵OA⊥OB
∴x1x2+y1y2=0
y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k²x1x2 +k(x1+x2)+1
∴x1x2+y1y2=(1+k²)x1x2+k(x1+x2)+1=0
联立椭圆和直线得
(4+k²)x²+2kx-3=0
x1x2=-3/(4+k²)，x1+x2=-2k/(4+k²)
∴-3(1+k²)/(4+k²)-2k²/(4+k²)+1=0
解得k²=1/4，k=±1/2
|AB|=√[(x1-x2)²+(y1-y2)²]
=√[(x1-x2)²+(kx1+1-kx2-1)²]
=√[(x1-x2)²+k²(x1-x2)²]
=√[(1+k²)(x1-x2)²]
=√{(1+k²)[(x1+x2)²-4x1x2}
=√{(1+k²)*[4k²/(4+k²)² +12/(4+k²)]}
=(4/17)√65

最后不知道算的对不对，你再把k²=1/4代进去算一下。采纳啊！！！

Answer 2

19、
把x+y=1代入x^2/a^2+y^2/b^2=1
（a^2+b^2）x^2-2a^2x+a^2-b^2=0
X1+X2=2a^2/(a^2+b^2) X1X2=a^2(1-b^2)/a^2+b^2
OP.OQ=0=>X1X2+Y1Y2=0=>2a^2b^2=a^2+b^2
1/a^2+1/b^2=a^2+b^2/a^2b^2=2 （*）
√3/3<=e<=√2/2
1/3<=e^2=1-b^2/a^2<=1/2
2/3>=b^2/a^2>=1/2
i) b^2/a^2=1/2 时
代入（*）
得a=√6/2
ii) b^2/a^2=2/3 时
代入（*）
得a=√5/2
椭圆长轴的取值范围 [√5,√6]
20、根据定义易得 y^2/4+x^2=1
设 A(x1,y1) B(x2,y2)
联立 y=kx+1 与y^2/4+x^2=1
得：(k^2+4)x^2+2kx-3=0
x1x2=-3/（k^2+4） x1+x2=-2k/(k^2+4)
x1x2+y1y2=0
x1x2+(kx1+1)(kx2+1)=(k^2+1)x1x2+k(x1+x2)+1=0
带入得 k=±1/2
|AB|=√{（x1-x2）^2+(y1-y2)^2}
=√(k^2+1)√{(x1+x2)^2-4x1x2}(弦长公式自己带 后面不算了，计算可能有错误 自己检查)