Question

已知关于x的一元二次方程（1/4）x²-2x+a(x+a)=0的两个实数根为x1,x2，若y=x1+x2+1/2根号x1×x2。

（1）当a≥0时，求y的取值范围。
（2）当a≤－2时，比较y与－a+6a－4的大小，并说明理由。

Answer 1

（1/4）x²-2x+a(x+a)=0
（1/4）x²-2x+ax+a²=0
x1+x2=8
x1x2=4a²
（1）当a≥0时,y=x1+x2+1/2√(x1x2)=8+a≥8
（2）当a≤－2时,y=8-a
y-(－a+6a－4)=8-a+a-6a+4=12-6a
a≤－2,-a≥2,-6a≥12,12-6a≥12>0
y>－a+6a－4

Answer 2

1) （1/4）x²-2x+a(x+a)=0
即 （1/4）x²-（2-a）x+a^2=0
所以 x1+x2=4（2-a）；x1×x2=4a^2
那么 y=x1+x2+1/2根号x1×x2
=4(2-a)+a
=8-3a
即 a=-（1/3）(y-8)
当 a≥0时
-（1/3）(y-8)≥0
y-8≤0
y≤8
2）设 -a+6a-4=Z
a=（Z+4）/5
当 a≤-2时
（Z+4）/5≤-2
Z+4≤-10
Z≤-14
而 -（1/3）(y-8)≤-2
则 y-8≥6
y≥14
所以 y＞-a+6a-4