Question

初三数学 已知三角形ABC,AC=BC=6,角C=90度，O是AB的中点，圆O与AC相切于点D

已知三角形ABC,AC=BC=6,角C=90度，O是AB的中点，圆O与AC相切于点D、与BC相切于点E,设圆O交OB于F,连DF并延长交CB的延长线于G.（1）角BFG与角BGF是否相等？为什么？（2）求由DG、GE和弧ED围成图形的面积（阴影部分）

Answer 1

1、相等。证明如下：
设AB与圆另一交点为H，连DH。
易得∠DHF=∠A＋∠ADH，∠DHF+∠DFH=90°，
又∵AD切圆，∴∠ADH=∠DFH，又因∠A=45°，
可得∠DFH=22.5°，角BFG=22.5°，角BGF=∠ABC-角BFG=22.5°，
相等。
2、AB=6根号2，OB=3根号2，BG=FB=3根号2-3，
连DE、DB，知S△EDB=S△DEO，
则S阴影=S扇形OBD+S△BGD=1/4*OE^2*pi+1/2*BG*CD=9/4*pi-9/2+9/2*根号2.

Answer 2

(1)∠BFG=∠BGF
证明：连接OD
AC为圆切线，所以OD⊥AC
∠ADO=∠ACB，所以OD∥BC
∠ODF=∠BGF（内错角），∠OFD=∠BFG（对顶角）
因为OD=OF，∠ODF=∠OFD
所以∠BFG=∠BGF
(2)连接OE
∠ACB=90，AC=BC
BC为圆切线，所以OE⊥BC
已证OD∥BC，所以OD⊥OE
∠DOE=90
O为AB中点，OD∥BC，所以OD为△ABC中位线
因此OD=BC/2=3，即圆半径为3。
D为AC中点，CD=AC/2=3。
同理，E为BC中点，BE=BC/2=3
AC=BC，简单可得，△ABC为等腰直角三角形
所以AB=√2AC=6√2
BF=（6√2-6）/2=3√2-3
由（1）得，∠BFG=∠BGF，BG=BF=3√2-3
EG=BE+BG=3√2
S扇形DOE=90×3²×π/360=9π/4
S△DOE=1/2×DO×EO=9/2
S△DEG=1/2×EG×CD=9√2/2
S阴影部分=S扇形DOE+S△DEG-S△DOE=9π/4+9（√2-1）/2