Question

函数的连续性问题

设函数有二阶连续的导数，且f'(0)=0,lim(x->0)f''(x)/|x|=1,则下列说法正确的是：
A.f(0)是f(x)的极小值
B.(0,f(0))是曲线y=f(x)的拐点
C.f(0)不是f(x)的极小值.(0,f(0))也不是是曲线y=f(x)的拐点
我不明白如果lim(x->0)f''(x)/|x|=1则会有lim(x->0)f''(x)=lim(x->0)|x|=0,再根据函数的连续性可知f''(0)=lim(x->0)f''(x)=0

Answer 1

如果lim(x->0)f''(x)/|x|=1，则证明f''(x)与|x|是同阶无穷小量，当f''(x)趋于零时其值必为0，因为假设f''(x)不为0，则f''(x)必为一非零常数k。一个非零常数除以0其值为无穷，与其值为1矛盾，所以f''(x)当x->0时必为0。又因为其二阶导函数连续，根据连续函数在其定义域内连续的定义，可知该点的函数值等于该点的极限值，所以f''(0)=lim(x->0)f''(x)=0。请注意，在高等数学中，极限值与函数值是完全不同的两个概念，函数连续是沟通两者的桥梁