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解：∵∫(-∞,+∞)e^(-t²)dt=2∫(0,+∞)e^(-t²)dt
为了求解方便，设A=∫(0,+∞)e^(-t²)dt
∴A²=(∫(0,+∞)e^(-t²)dt)*(∫(0,+∞)e^(-t²)dt)
=(∫(0,+∞)e^(-x²)dx)*(∫(0,+∞)e^(-y²)dy)
=∫(0,+∞)∫(0,+∞)e^(-x²-y²)dxdy
=∫(0,π/2)dθ∫(0,+∞)e^(-ρ²)ρdρ (做极坐标变换，设x=ρcosθ,y=ρsinθ)
=(π/2)/2∫(0,+∞)e^(-ρ²)d(ρ²)
=(π/4)[-e^(-ρ²)]│(0,+∞)
=(π/4)(0+1)
=π/4
即 A=√π/2
故 ∫(-∞,+∞)e^(-t²)dt=2A=√π。
为了求解方便，设A=∫(0,+∞)e^(-t²)dt
∴A²=(∫(0,+∞)e^(-t²)dt)*(∫(0,+∞)e^(-t²)dt)
=(∫(0,+∞)e^(-x²)dx)*(∫(0,+∞)e^(-y²)dy)
=∫(0,+∞)∫(0,+∞)e^(-x²-y²)dxdy
=∫(0,π/2)dθ∫(0,+∞)e^(-ρ²)ρdρ (做极坐标变换，设x=ρcosθ,y=ρsinθ)
=(π/2)/2∫(0,+∞)e^(-ρ²)d(ρ²)
=(π/4)[-e^(-ρ²)]│(0,+∞)
=(π/4)(0+1)
=π/4
即 A=√π/2
故 ∫(-∞,+∞)e^(-t²)dt=2A=√π。
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