Question

极限性质证明题

如果在a点的某个去心邻域内，恒有f(x)>g(x)，且当x趋于a时，limf(x)=A和limg(x)=B都存在，那么A≥B，即limf(x)≥limg(x)。

Answer 1

证明分两步
第一步（利用极限基本性质：线性性质）令F(x)=f(x)-g(x)，则x趋于a时，limF(x)=A-B。
第二步（利用极限基本性质：局部保号性）反证法。若A≥B不成立，即A-B＜0，那么存在a点的某个去心邻域，在这个去心邻域内，恒有F(x)＜0，即f(x)＜g(x)，这就得到矛盾