Question

如果正整数N能使N分之N+24也是正整数，那么这样的正整数N有多少个？分别是几？进一步探究，能否存在正整数

使N分之N+24和N分之N+25同时是正整数？为什么？

Answer 1

(N + 24) / N

= 1 + 24/N

因此,只要使24/N是整数即可,易知N可取24的所有约数,24=2×2×2×3,即：

1、2、3、4、6、8、12、24,共8个。

除法的法则：

除法的运算性质

1、被除数扩大（缩小）n倍，除数不变，商也相应的扩大（缩小）n倍。

2、除数扩大（缩小）n倍，被除数不变，商相应的缩小（扩大）n倍。

3、被除数连续除以两个除数，等于除以这两个除数之积。

除法相关公式：

1、被除数÷除数=商

2、被除数÷商=除数

3、除数×商=被除数

4、除数=(被除数-余数)÷商

5、商=(被除数-余数)÷除数

Answer 2

1.如果正整数N能使N分之N+24也是正整数,说明24能被N整除
而24=2×2×2×3，所以N可以是24，1，4，6，8，3，12，2
共8个

2.若N分之N+25是正整数，则25能被N整除，
而25=5×5
所以N可以是25，1，5，
所以若N分之N+24和N分之N+25同时是正整数，则24和25能同时被N整除，
而N只能是 1

Answer 3

设 (N + 24) / N = k (k是正整数)
则 (k - 1)N = 24 即 N = 24 / (k - 1)
∵24的公约数有1,2,3,4,6,8,12,24
∴k - 1 = 1,2,3,4,6,8,12,24 即 k = 2,3,4,5,7,9,13,25
∴N = 24,12,8,6,4,3,2,1 ①
即一共存在8个正整数N使得N分之N+24也是正整数。

同理，
设 （N +25）/ N = m（m是正整数）
则 (m - 1)N = 25 即 N = 25 / (m - 1)
∵25的公约数有1,5,25
∴m - 1 = 1,5,25 即 m = 2,6,26
∴N = 25,5,1
即一共存在3个正整数N使得N分之N+25也是正整数。

由①②可知，使N分之N+24和N分之N+25同时是正整数的正整数只存在1.

Answer 4

如果正整数N能使N分之N+24也是正整数,说明24能被N整除
而24=2×2×2×3，所以N可以是24，1，4，6，8，3，12，2
共8个