Question

一道高二数学题，求解，不胜感激！

已知向量 a+根号3b 与 7a-5根号3b 垂直, a-4根号3b 与 7a-2根号3b 垂直，且向量a的模乘向量b的模不等于0，求向量a与b夹角大小。
（所有字母都带向量）

Answer 1

向量 a+根号3b 与 7a-5根号3b 垂直,
∴（a+√3b)*(7a-5√3b)
=7a^2+2√3a*b-15b^2=0,①
a-4根号3b 与 7a-2根号3b 垂直，
∴(a-4√3b)*(7a-2√3b)
=7a^2-30√3a*b+24b^2=0,②
①-②，32√3a*b-39b^2=0,
∴a*b=39b^2/(32√3），
代入①，a^2=201b^2/112,
cos<a,b>=a*b/(|a|*|b|)=39/(32√3）*√（112/201）
=（13/8）√（7/67）
∴<a,b>=arccos[（13/8）√（7/67）]≈58.3°。

Answer 2

99869999

Answer 3

∵b²+√（a-4)+9=6b
∴b²-6b+9+√(a-4)=0
即（b-3)²+√(a-4)=0
∴b=3, a=4
∴第三边c的取值范围是1<c<7

Answer 4

因为向量a+根号3b与7a-5根号3b 垂直
所以7a2-15b2+2根号3a·b=0
因为a-4根号3b 与7a-2根号3b 垂直
所以7a2-24b2-30根号3a·b=0
所以40|a|²=83|b|²
a·b=[19(根号3)/240]*b²
向量a与b夹角=arccos[19(根号3)/240]*b²/(83b²/40)=arccos19(根号3)/498