Question

求解 已知函数f(x)=(x^2 +1)/(ax+b)是奇函数。且f(1)=2 1,求a,b的值 2，判断函数f(x)在（-∞，0)上的单调

求详细过程

Answer 1

(1)若a=0,则f(x)=(x^2+1)/b,f(-x)=f(x)这与f(x)是奇函数矛盾，所以有a≠0
而奇函数的定义域关于原点对称，f(x)定义域为ax+b≠0,x≠-b/a
∴-b/a=0,b=0
此时有f(-x)=(x^2 +1)/(-ax+b)=(x^2 +1)/(-ax)=-f(x)，且f(x)定义域为x≠0，满足y=f(x)为奇函数
而又由f(1)=2,即(1^2+1)/a=2,a=1
综上,a=1,b=0,f(x)=(x^2+1)/x
(2)f'(x)=(x^2-1)/x^2
当x<-1时,f'(x)>0,f(x)递增
当-1<x<0时,f'(x)<0,f(x)递减
所以f(x)在(-∞,-1)上单调递增，在(-1,0)上单调递减

Answer 2

1.由f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
即（x²+1）/（-ax+b）=-（x²+1）/（ax+b）
即-ax+b=-ax-b，∴2b=0，即b=0，
由f（1）=（1+1）/a=2，∴a=1
2.由f（x）=(x²+1)/x=x+1/x,
令y′=0，得1-1/x²=0,
1/x²=1,∴x=±1是两个极值点，

（1）x=-1达到最大值，
∴x＜-1时，f（x）是增函数。，
-1＜x＜0时，f（x）是减函数。

Answer 3

因为函数f(x)=(x^2 +1)/(ax+b)是奇函数
所以b=0
因为f(1)=2 所以2/a=2,a=1
f(x)=(x^2 +1)/x=x+1/x
所以当x∈(-∞,-1)时f(x)=(x^2 +1)/x=x+1/x单调递减
当x∈(-1，0)时f(x)=(x^2 +1)/x=x+1/x单调递增