Question

已知函数f(x)=(ax2+1)/(x+b)是奇函数，且f(1)=2.（1）求f(x)的解析式；（2）判断函数f(x)的单调性；

（3）若x1、x2属于1到正无穷，且x1不等于x2，求证f[(x1+x2)/2]<1/2[f(x1)+f(x2)]。

Answer 1

1) f(-x)=-f(x)
(ax^2+1)/(-x+b)=(ax^2+1)/(-x-b)
b=0
f(x)=(ax^2+1)/x
f(1)=(a+1)=2, a=1
f(x)=(x^2+1)/x
2)f(x)=x+1/x, 这是双勾函数，
在x>1,或x<-1, 时，函数单调递增
在（-1，0）或（0，1）时，函数单调递减
3）x1>=1, x2>=1
f[(x1+x2)/2]=(x1+x2)/2+2/(x1+x2)
1/2[f(x1)+f(x2)]=(x2+x2)/2+1/(2x1)+1/(2x2)
1/2[f(x1)+f(x2)]- f[(x1+x2)/2]=(x1+x2)/(2x1x2)-2/(x1+x2)=(x1-x2)^2/[2x1x2(x1+x2)]>0
因此有：f[(x1+x2)/2]<1/2[f(x1)+f(x2)]

Answer 2

（1)既然是奇函数则f（-1）=-2，然后f（-1）=-2，f(1)=2带入函数解析式，两个方程两个未知数,就可以解了，解出f(x)=(x2+1)/x