Question

圆 数学题

如图，AB是圆O的直径 点C是半圆上的任意一点 CD⊥AB于D，∠OCD的平分线CP交圆O于点P，试问当点C在半圆上运动时，点P的位置是否改变？并说明理由。

Answer 1

点P的位置不会改变。
OC=OP=半径，三角形OCP是等腰三角形，所以，∠OPC=∠OCP=∠DCP
设CP交AB与点E，而∠DEC与∠OEP是对顶角，相等
所以三角形CDE与三角形POE相似，OP垂直与AB。
过O点垂直于AB 与圆相交的点式唯一的，所以P点的位置不会改变。

Answer 2

不变

∵⊙O
∴OP=OC
∴∠P=∠OCP
∵CP平分∠OCD
∴∠OCP=∠PCD
∴∠P=∠PCD
∴OP‖CD
又CD⊥AB
∴OP⊥AB
∴弧AP=弧BP（垂径定理）
∴P是弧APB中点
∴P点不变

Answer 3

解：
P点不改变，始终是弧AB的终点。
取弧AB的中点P，连接OP，则OP⊥AB
因为CD⊥AB于D
所以OP//CD
所以∠PCD=∠CPO。
又因为OC=OP
所以∠PCO=∠CPO
所以∠PCD=∠PCO,即PC始终是∠OCD的平分线

Answer 4

点P的位置不改变
证明：
连接OP，记CP交AB与E点
∵ OC = OP
∴ <DCP = < OCP = < OPC
∴ △CDE ∽ △POE
∴ OP 垂直于AB
∴ P点位置不变

Answer 5

连接OP
∵圆心到圆的距离相等
∴OC=OP
∴∠OCP=∠OPC
∵CP平分∠DCO
∴∠CDP=∠PCO
所以CD平行与OP
即AB⊥OP
所以P点不会改变