Question

一道线代数学题，想知道一下具体解答步骤跟相关公式的应用原理。

方阵A=( 2a 1 0 ,x=(x1 x2 x3)^T,b=(1 ,0, 0)^T
a^2 2a 1
0 a^2 2a)
当a为何值时，该方程组有唯一解，并求解。

Answer 1

行列式|A|=
2a*|2a..1..|
.....|a^2..2a|-
|a^2...1..|
|0....2a..|
=6a^3-2a^3=4a^3≠0，即a≠0时该方程组有唯一解。
对增广矩阵作行变换：
2a...1...0....1
a^2..2a.1...0
0..a/2...1....0
(省去矩阵符号），
第二行减去第三行后除以3a/2,得
2a...1...0....1
2a/3.1..0....0
0...a/2..1....0
第一行减去第二行后除以4a/3,得
1....0....0....3/（4a)
2a/3.1..0....0
0...a/2..1....0
第二行减去第一行的2a/3倍，
1....0....0....3/（4a)
0....1....0...-1/2
0...a/2..1....0
第三行减去第二行的a/2倍，得
1....0....0....3/（4a)
0....1....0...-1/2
0....0....1...a/4.
∴x=(x1 ， x2， x3)^T
=（3/（4a),-1/2,a/4)^T.

Answer 2

A的行列式(det)不等于0，即可解出a不等于***时，方程组定有唯一解。原理是Cramer法则，x1=det([1 1 0;0 2a 1;0 a^2 2a])/det([2a 1 0;a^2 2a 1;0 a^2 2a]);
x2=det([2a 1 0;a^2 0 1;0 0 2a])/det([2a 1 0;a^2 2a 1;0 a^2 2a]);
x3=det([2a 1 1;a^2 2a 0;0 a^2 0])/det([2a 1 0;a^2 2a 1;0 a^2 2a]);