希望数学竞赛题练习
1、在1,2,3，···，100这100个数之间添“+”，“—”号，使组成算式后的代数和为4150,则“+”号最多可添（）个？2、2010减去它的1/2,，再减去余数的1...
1、在1,2,3，···，100这100个数之间添“+”，“—”号，使组成算式后的代数和为4150,则“+”号最多可添（ ）个？
2、2010减去它的1/2,，再减去余数的1/3,再减去余数的1/4，···，以此类推，一直到减去剩余数的1/2010,则最后剩余的数是（ ）？
3、已知（2x+1）五次方=ax的五次方+bx的四次方+cx的三次方+dx的平方
+ex+f，则a—b+c—d+e—f的值为（ ）？
4、三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积成为“美妙数”，问所有小于2010的美妙数的最大公约数是（ ）？
5、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A,2,3,4，```,J,Q,K的顺序配列，小明把按上述顺序的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层···如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是（ ）？
6、23个彼此不相等的正整数的和是4845，问这23个数的最大公约数的最大可能值是（ ）？
7、a,b是1至100这100个自然数中两个不同的数，a除以3的余数为m,b除以4的余数为n，当m+2n=3时，ab的最大值是（ ）？
8、 已知x³—6x²+ax+b能被（x—1）（x—3）整除，则20a+32b=（ ）？
9、已知四位数—— 能被17整除，则m=（ ）？
2m08
10、已知正整数n小于100，且满足[n/2]+[n/3]+[n/6]=n，其中[x]表示不超过 x的最大整数，这样的正整数n有（ ）个？
11、一串数排成一行：1,1，2，3,5,8,13,21,34,55，···到这串数的第1000个数为止，共有（ ）个偶数？
12、一旅游团队乘汽车外出旅游，要求每辆汽车的游客人数相等，起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；若有一辆汽车空着开走，则所有游客正好能平均分成到其他各车上。已知每辆汽车最多只能容纳32人，则该旅游团有（ ）名游客？
**13、甲、乙两人沿着圆形跑道匀速跑步，他们分别从直径AB两端同时相向起跑。第一次相遇时离A点100米，第二次相遇时离B点60米，求圆形跑道的总长。
**14、两个代表团从甲地乘车前往乙地，每车可乘35人。两代表团各坐满若干辆车后，第一个代表团剩下的15人与第二个代表团剩下的成员正好有坐满一辆车。会后，第一代表团的每个代表与第二代表团的每个代表都合拍一张照片留念。如果每个胶卷可以拍35张照片，那么拍完最后一位代表的照片后，照相机中的胶卷还可以拍多少张照片？
**15、已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数。”试问：上述订立中整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论。
注：13、14、15题要求完整的解答过程。一定要！！ 展开
2、2010减去它的1/2,，再减去余数的1/3,再减去余数的1/4，···，以此类推，一直到减去剩余数的1/2010,则最后剩余的数是（ ）？
3、已知（2x+1）五次方=ax的五次方+bx的四次方+cx的三次方+dx的平方
+ex+f，则a—b+c—d+e—f的值为（ ）？
4、三个连续正整数，中间一个是完全平方数，将这样的三个连续正整数的积成为“美妙数”，问所有小于2010的美妙数的最大公约数是（ ）？
5、有两副扑克牌，每副牌的排列顺序是：第一张是大王，第二张是小王，然后是黑桃、红桃、方块、梅花四种花色排列，每种花色的牌又按A,2,3,4，```,J,Q,K的顺序配列，小明把按上述顺序的两副扑克牌上下叠放在一起，然后从上到下把第一张丢掉，把第二张放在最底层，再把第三张丢掉，把第四张放在最底层···如此下去，直至最后只剩下一张牌，则所剩的这张牌是（ ）？
6、23个彼此不相等的正整数的和是4845，问这23个数的最大公约数的最大可能值是（ ）？
7、a,b是1至100这100个自然数中两个不同的数，a除以3的余数为m,b除以4的余数为n，当m+2n=3时，ab的最大值是（ ）？
8、 已知x³—6x²+ax+b能被（x—1）（x—3）整除，则20a+32b=（ ）？
9、已知四位数—— 能被17整除，则m=（ ）？
2m08
10、已知正整数n小于100，且满足[n/2]+[n/3]+[n/6]=n，其中[x]表示不超过 x的最大整数，这样的正整数n有（ ）个？
11、一串数排成一行：1,1，2，3,5,8,13,21,34,55，···到这串数的第1000个数为止，共有（ ）个偶数？
12、一旅游团队乘汽车外出旅游，要求每辆汽车的游客人数相等，起初每辆汽车乘了22人，结果剩下1人未上车；若有一辆汽车空着开走，则所有游客正好能平均分成到其他各车上。已知每辆汽车最多只能容纳32人，则该旅游团有（ ）名游客？
**13、甲、乙两人沿着圆形跑道匀速跑步，他们分别从直径AB两端同时相向起跑。第一次相遇时离A点100米，第二次相遇时离B点60米，求圆形跑道的总长。
**14、两个代表团从甲地乘车前往乙地，每车可乘35人。两代表团各坐满若干辆车后，第一个代表团剩下的15人与第二个代表团剩下的成员正好有坐满一辆车。会后，第一代表团的每个代表与第二代表团的每个代表都合拍一张照片留念。如果每个胶卷可以拍35张照片，那么拍完最后一位代表的照片后，照相机中的胶卷还可以拍多少张照片？
**15、已知定理：“若三个大于3的质数a，b，c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数。”试问：上述订立中整数n的最大可能值是多少？并证明你的结论。
注：13、14、15题要求完整的解答过程。一定要！！ 展开
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1、89
2、1
3、1；注释，当x=1时，（2x-1）^5 = a-b+c-d+e-f
4、12
5、梅花9
6、17
7、9506
8、0
9、6
10、16
11、333
12、529
13、此题可以假设圆形跑道由直径分为上弧圈和下弧圈，由于两人相向跑动，则再假设第一次相遇点所在的那个弧圈为上弧圈（由于对称性，这样假设可以减少分类讨论的次数）。提问的人可以自己画图。再假设，从A点出发的人为甲，B点的为乙。第一次相遇时两人跑的距离为半周长。且甲跑了100，并且半周长大于100，假设第一次相遇点为C；第二次相遇时，两人又共跑了一整圈，甲共跑了300；第二次相遇点设为D,则D有三种可能性，一种在下弧圈，两种在上弧圈，在下弧圈的，则，半周长=300-60=240，则全长为480；在上弧圈有两周可能，一种，D在AC之间，一种D在BC之间。在AC之间的，则乙共跑了60，也就是第一次相遇时乙跑了20，也就是半周长为120，全长为240；当D在BC间，则半周长=300+60=360，全长为720.也就是说圆形跑道的周长为480、240、720。注，甲乙两人一共才跑了1.5圈，所以有些一个人超过1.5圈的情况就不要考虑了。
14、根据条件假设，第一个代表团人数为35x+15，第二个代表团的人数为35y+20,。
所以会后所拍照片的数量为（35x+15）*（35y+20）= 35^2*xy + 15*35y + 20*35x + 15*20,可以看出前三项都是35的倍数，所以要知道剩多少张底片，只要知道300/35的余数就行了，也就是还能拍20张照片。
15、是定理就对所有的满足2a+5b=c的质数，n就不会变，变的话定理就没有意义了，因为1也是整数。所以n对所有的数都成立。根据条件有c=2a+5b，所以a+b+c=3a+6b=3（a+2b）。
设a、b被3除余数为ra、rb。由于a、b是质数，故ra、rb值必是1或2。所以存在以下两种情况：
（1） ra≠rb，则其中必有一个为1、另一个为2。
∵1+2=3 ∴ c=2a+5b=2(a+b)+3b ∴3|c
这与c是质数相矛盾，故这种情况不存在。
（2） ra=rb，则 3|a-b。∵a+2b=3b+(a-b)， ∴3|a+2b ∴9| a+b+c
命题成立，即n=9。
2、1
3、1；注释，当x=1时，（2x-1）^5 = a-b+c-d+e-f
4、12
5、梅花9
6、17
7、9506
8、0
9、6
10、16
11、333
12、529
13、此题可以假设圆形跑道由直径分为上弧圈和下弧圈，由于两人相向跑动，则再假设第一次相遇点所在的那个弧圈为上弧圈（由于对称性，这样假设可以减少分类讨论的次数）。提问的人可以自己画图。再假设，从A点出发的人为甲，B点的为乙。第一次相遇时两人跑的距离为半周长。且甲跑了100，并且半周长大于100，假设第一次相遇点为C；第二次相遇时，两人又共跑了一整圈，甲共跑了300；第二次相遇点设为D,则D有三种可能性，一种在下弧圈，两种在上弧圈，在下弧圈的，则，半周长=300-60=240，则全长为480；在上弧圈有两周可能，一种，D在AC之间，一种D在BC之间。在AC之间的，则乙共跑了60，也就是第一次相遇时乙跑了20，也就是半周长为120，全长为240；当D在BC间，则半周长=300+60=360，全长为720.也就是说圆形跑道的周长为480、240、720。注，甲乙两人一共才跑了1.5圈，所以有些一个人超过1.5圈的情况就不要考虑了。
14、根据条件假设，第一个代表团人数为35x+15，第二个代表团的人数为35y+20,。
所以会后所拍照片的数量为（35x+15）*（35y+20）= 35^2*xy + 15*35y + 20*35x + 15*20,可以看出前三项都是35的倍数，所以要知道剩多少张底片，只要知道300/35的余数就行了，也就是还能拍20张照片。
15、是定理就对所有的满足2a+5b=c的质数，n就不会变，变的话定理就没有意义了，因为1也是整数。所以n对所有的数都成立。根据条件有c=2a+5b，所以a+b+c=3a+6b=3（a+2b）。
设a、b被3除余数为ra、rb。由于a、b是质数，故ra、rb值必是1或2。所以存在以下两种情况：
（1） ra≠rb，则其中必有一个为1、另一个为2。
∵1+2=3 ∴ c=2a+5b=2(a+b)+3b ∴3|c
这与c是质数相矛盾，故这种情况不存在。
（2） ra=rb，则 3|a-b。∵a+2b=3b+(a-b)， ∴3|a+2b ∴9| a+b+c
命题成立，即n=9。
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