Question

一道很难得数学难题。希望杯竞赛题

在锐角三角形abc中，D,E,F分别是AB,BC,CA边上的三等分点，P,Q,R分别是三角形ADF,BDE,CEF的三条中线的交点。
（1）求△DEF于△ABC的面积之比。
（2）求△PDF于△ADF的面积之比
求多边形PDQERF于△ABC的面积之比。
第一小题答案是1:3 第二小题是1:3，第三小题是5:9。各位再好好想想吧

Answer 1

（1）连接DC 然后得到ADF面积为ADC的2/3
而ADC面积为ABC的1/3 所以ADF=2/9的ABC
同理 你懂的 所以DEF=1/3的ABC
（2）考察三角形重心到各个角的连线构成3个三角形的面积与原三角形的关系
你画一个图把每个中线都画出来，然后利用同底等高原则相互比较3条中线所分割出的6个三角形，得到结论PDF=1/3的ADF
(3)上两题结论由（1）中可得ADF为2/9的ABC 所以利用（2）PDF=2/27的ABC
同理 你懂的 PDQERF=3*2/27+1/3=5/9的ABC
解答完毕

Answer 2

（1）因为F是AC的中点，D是AB的中点；
所以DF//BC；
所以△ADF相似△ABC；
又因为AD=1/2AB；
所以△ADF的面积为△ABC的1/4；
同理得△CFE，△BDE为△ABC的1/4；
所以△DEF与△ABC的面积比为1：4；
（2）