Question

求一道高中数学题

若a>0,b>0,求b^2/a+a^2/b>=a+b 要思清晰的 不要打错

Answer 1

b^2/a+a>=2根号[(b^2/a)*a]=2b
a^2/b+b>=2根号[(a^2/b)*b]=2a
b^2/a+a+a^2/b+b>=2a+2b
b^2/a+a^2/b>=a+b

Answer 2

要证b^2/a+a^2/b>=a+b
只需证（b^3+a^3）/ab>=a+b
只需证（a+b）（b^2-ab+a^2）/ab>=a+b
只需证（a+b）（b^2-ab+a^2）>=（a+b）ab
因a，b>0,所只需证b^2-ab+a^2>=ab
即（a-b）^2>=0
因恒成立，所以原式成立

Answer 3

b²/a+a²/b=（a³+b³）/ab=(a+b)（a²-ab+b²)/ab=(a+b)（a²+b²-ab)/ab≥(a+b)（2ab-ab)/ab=a+b
即b²/a+a²/b≥a+b

Answer 4

若a>0,b>0,求证b²/a+a²/b>=a+b
证：b²/a+a²/b=(b³+a³)ab=(b+a)(b²-ab+a²)/ab
=(b+a)[(b/a)-1+(a/b)]≥(b+a){2√[(b/a)(a/b)]-1}
=(a+b)(2-1)=a+b
故证