Question

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已知椭圆C：x^2/a^2+y^2/3=1（a＞根号3）的左右焦点分别为F1F2，上顶点为点A，点Q满足QF2向量=2F1F2向量，且以QF2为直径的圆恰好通过点A，
（1）求椭圆C的标准方程
（2）若点P为椭圆C上的动点，求PQ向量乘PF2向量的取值范围，

Answer 1

【1】由题设易知，左焦点F1是线段QF2的中点，故Q(-3c,0).又由题设可知，|AF1|=|F1F2|。∴a=2c.结合b²=3,a²-c²=b²可得a=2,c=1.∴椭圆C：（x²/4)+(y²/3)=1.【2】由前面可知，Q(-3,0),F2(1,0),∵点P在椭圆上，故可设P(2cost,√3sint).∴向量PQ·PF2=（-3-2cost,-√3sint)·(1-2cost,-√3sint)=(2cost-1)(2cost+3)+3sin²t=4cos²t+4cost-3+3sin²t=cos²t+4cost=(cost+2)²-4.∵-1≤cost≤1.∴-3≤PQ·PF2≤5.

Answer 2

1，F1A=F2A=a，A在以F1为圆心、F1F2为半径的圆上，所以F1F2=a，即2c=a，与a^2=3+c^2（椭圆性质）联立得a=2
所以标准方程为……
2，F2（1，0），Q（-3，0），P（x，y）所以PQ*PF2=(x+3)(x-1)+y^2与椭圆方程联立消去y化成只含x的方程，然后以椭圆上点的x值范围(-2，2)作为值域求出定义域就是要求的取值范围

Answer 3

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