Question

急！！已知抛物线y²=4x及点P(2,2),直线l斜率为1且不过点P,与抛物线交于A,B两点

求：若AP、BP分别与抛物线交于另一点C、D，证明：AD、BC交于定点。

Answer 1

【注：（1）用“参数法”。（2）简答】解：∵A，B，C，D四点均在抛物线y²=4x上，故可设坐标为A(a²,2a),B(b²,2b),C(c²,2c),D(d²,2d).又点P(2,2).【1】①由直线L，即直线AB的斜率为1，可得a+b=2.②由三点A，P，C共线，可得a+c-ac=2.③由三点B，P，D共线，可得b+d-bd=2.④易知，直线AD的方程:2x-(a+d)y=-2ad.直线BC的方程:2x-(b+c)y=-2bc.联立两个方程，解得y=2(ad-bc)/(a+d-b-c).【2】由a+b=2,且a+c-ac=2,且b+d-bd=2.可得a+c-ac=b+d-bd.===>a-b=ac-bd+d-c∴a+d-b-c=ac-bd+2d-2c=(2-b)c-bd+2d-2c=-bc-bd+2d=(2-b)d-bc=ad-bc.即a+d-b-c=ad-bc.∴y=2.【3】当y=2时，代入上面任意一个直线方程可得x=a+d-ad=(2-b)+d-(2-b)d=-b-d+2+bd.再由前面的b+d-bd=2可知，x=0.综上可知，这个定点是(0,2).