Question

设函数f(x)在R上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在[0,7]上，只有f（1）=f（3）=0

设函数f(x)在R上满足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在[0,7]上，只有f（1）=f（3）=0。
求1.判断y=f（x）的奇偶性
2.求方程f（x）=0在区间[-2008，2008]上根的个数、并证明。

Answer 1

解：易知，对任意实数x∈R,恒有f(4-x)=f(x)且f(14-x)=f(x).∴f(4-x)=f(14-x).即f(4-x)=f[10+(4-x)].∴f(x+10)=f(x).即函数f(x)在R上是以10为周期的周期函数。【1】由f(10+x)=f(x),及f(3)=0可知，f(-3)=f(7)。①若f(-3)=f(3)=0.则f(7)=0.这与题设“在[1,7]上仅有f(1)=f(3)=0”矛盾。∴f(-3)≠f(3).②若f(-3)+f(3)=0.同样有f(7)=0.矛盾。∴f(3)+f(-3)≠0.综上可知，在R上，函数f(x)非奇非偶。【2】①由f(10+x)=f(x)及题设“在[0,7]上，仅有f(1)=f(3)=0“可知，f[1+10k]=f[3+10m]=0.(k,m∈Z).由此可得-2008≤1+10k≤2008,且-2008≤3+10m≤2008.===>-200.9≤k≤200.7且-201.1≤m≤200.5===>k=-200,-199,-198,....199,200.计401个。m=-201,-200,-199,....198,199,200.计402个。∴满足题设的解共有803个。