Question

椭圆与中点弦的问题，椭圆不知，弦方程以及弦中点已知，求椭圆方程。

已知椭圆，X^2/a^2+Y^2/b^2=1的一条弦所在的直线方程是X-Y+3=0，弦的中点坐标是 （-2,1），则椭圆的离心率是？ A.1/2 B 2份之根号2 C 2份之根号3 D 5份之根号5

Answer 1

先推导一个有关椭圆中点弦的一般性结论：
设椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1
弦的两端点为(x1,y1),(x2,y2),（x1≠x2）
∴有x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1
两式相减得：
（x1+x2)(x1-x2)/a^2+(y1+y2)(y1-y2)/b^2=0
∵p（x0，y0）为中点,∴x1+x2=2x0,y1+y2=2y0
∴2x0(x1-x2)/a^2+2y0(y1-y2)/b^2=0
∴x0/a^2+（y0/b^2）×k=0（其中k=(y1-y2)/ (x1-x2)为中点弦所在直线的斜率）
∴k=(-b^2x0)/(a^2y0) ……这是个重要结论，要记住。

对于本题来说，k=1,x0=-2,y0=1.
代入上式有：1= 2b^2/a^2
a^2= 2b^2,又因b^2= a^2-c^2,
所以a^2=2 a^2-2c^2,
a^2=2 c^2, c/a=√2/2.
即离心率是√2/2.
选B.

Answer 2

x1^2/a^2+y1^2/b^2=1
x2^2/a^2+y2^2/b^2=1

1式减2式，得：（x1+x2）(x1-x2)/a^2+(y1+y2)(y1-y2)/b^2=0
x1+x2=-4,y1+y2=2,k=1=(y1-y2)/(x1-x2)
-4/a^2=-2(y1-y2)/(x1-x2)b^2=-2/b^2
b^2=a^2/2=a^2-c^2
a^2/2=c^2
e=c/a=√2/2
B