Question

函数f(x)=x+1/x (1) 判断f(x)在区间(0,1] 和[1,正无穷)上的单调性 (2)求f(x)在[1/2,5]是的值域

Answer 1

1）取x1<x2
则f(x2)-f(x1)=(x2-x1)+(1/x2-1/x1) = (x2-x1)-(x2-x1)/x1x2=(x2-x1)(x1x2-1)/x1x2
当0<x1<x2<=1时
x2-x1>0，0<x1x2<1,则f(x2)-f(x1)<0，f(x1)>f(x2)，f(x)是递减函数
当1<x1<x2时
x2-x1>0, x1x2>1,则f(x1)>f(x2),即f(x)是增函数
2）当1/2<=x<=1时，2=f(1)<=f(x)<=f(1/2)=5/2
当1<x<5时，2=f(1)<f(x)<f(5)=26/5
因为26/5>5/2
所以f(x)在[1/2,5]上的值域为[2,26/5]

Answer 2

(1)设X1<X2，F(X1)-F(X2) 作差法判断单调性。或者画图直接得出结果。
答案：（0，1】单调减，【1，正无穷）单调增。
(2)由（1）得，F(X)在X=1处去最小值为2，F(1/2)=2.5，F(5)=5.2
所以，值域未【2，5.2】