Question

一道高中数学题（关于直线方程）

已知直线l：kx-y+1+2k=0（k∈R）
（1）证明直线过定点
（2）若直线交x轴的负半轴于A，交y的正半轴于B，设△AOB的面积为S，求S的最小值，并求此时直线的方程.

写出详细过程，谢谢

Answer 1

解：（1）将直线l的方程kx-y+1+2k=0改写为y-1=kx+2k＝k(x+2)。显然直线l是过定点（-2，1）且斜率为k。
（2）由已知得k＞0，令x=0,则y=1+2k；令y=0,x=-(1+2k)/k。即A(-(1+2k)/k,0),B(0,1+2k).
所以S＝1/2*(1+2k)^2/k＝1/2*(1/k+4+4k)≥4，当且仅当k=1/2时取得，此时直线的方程为1/2x-y+2=0，即x-2y+4=0.

Answer 2

1、令k＝1得x－y＋1＋2＝0，即x－y＝－3
令k＝－1得－x－y＋1－2＝0，即x＋y＝－1
解得x＝－2，y＝1
∴直线l过定点（－2，1）

2、在kx-y+1+2k=0中，分别令x＝0，y＝0
得A（－1/k－2，0），B（0，1＋2k）
△AOB的面积S＝1/2|－1/k－2|(1＋2k)
＝1/2(1/k＋2)(1＋2k)
＝1/2(1/k＋4k)＋2≥1/2×2√(1/k·4k)＋2＝4
∴S的最小值为4
当1/k＝4k，即k＝±1/2时等号成立
当k＝1/2时，kx-y+1+2k＝1/2x－y＋2＝0
直线l方程为1/2x－y＋2＝0
当k＝－1/2时，kx-y+1+2k＝－1/2x－y＋1＋2×(－1/2)＝0
直线l方程为－1/2x－y＝0

Answer 3

解：（1）直线方程变成k(x+2)-y+1=0
所以直线一定过点(-2,1)
(2)交x轴于点（-1/k-2,0)
交y轴于点(0,2k+1)
面积为S=1/2(2k+1)(1/k+2)=2k+1/2k+2>=4
又因直线交x轴的负半轴
所以-1/k-2<0
即k>0或k<-1/2
当且仅当2k=1/2k即k=1/2时取得最小值4
直线方程为x-2y+4=0

Answer 4

1、解：kx-y+1+2k=0；k(x+2)=y-1，
∵当x=-2时，无论k为何值，y=1，
∴直线过定点(-2，1)
2、解：y=0代入kx-y+1+2k=0得
∵kx+1+2k=0，解得x=-(1+2k)/k
∴A点坐标(-(1+2k)/k，0)
∵交x轴的负半轴于A，
∴-(1+2k)/k＜0
∴OA=(1+2k)/k
同理可得B点坐标(0，1+2k)，OB=1+2k，1+2k＞0即k＞-0.5
∵S△AOB=1/2×OA×OB=1/2×(1+2k)/k×(1+2k)=(1+2k)²/2k=1/2k+2+2k≥2√(1/2k×2k)＋2=4
∴当1/2k=2k时，S△AOB最小值为4
解得k=0.5或k=-0.5(舍去)
当k=0.5时，原式为0.5x-y+2=0
答：略。

Answer 5

（1）由kx-y+1+2k=0，得y-1=k(x+2)，表示经过（-2，1）斜率为k的直线，
所以直线过定点（-2，1）。
（2）由条件知k>0，令x=0,得y=1+2k,令y=0得x=-(1+2k)/k,
所以s=(1+2k)*(1+2k)/k=4k+1/k+4,因为k>0，所以4k+1/k>=4,
所以s>=8。

Answer 6

解：（1）直线方程可化为：y=k（x+2）+1
∴直线l必过点（-2，1）。
（2）设A点坐标为（-a，0），B点坐标为（0，b）；a，b>0。
代入直线方程，则有a=（2k+1）/k，b=2k+1，
∴S=ab/2=（2k+1)²/2k =2k+(1/2k)+2≥2+2√￣[2k·(1/2k)]
当且仅当2k=(1/2k)即K=1/2时，S取到最小值，S最小=4，
此时直线方程为y=1/2（x+2）+1，即x-2y+4=0。

我老师教我的哦。