Question

有理函数的积分，有理真分式分解成部分分式怎么推导出来的

为什么可以这样分解，教材上没有这个等式。只是直接给出，想问大家是如何推导的 ？
其中Q（x） 在实数范围内能分解成一次因式和两次质因式的乘积

Answer 1

1、将分母在实数内分解；

2、分母上如有一次函数：

如x，则分解后有A/x这一项；

如2x+3、3x-4等，则分解后亦有一项A/(2x+3x)、A/(3x-4)；

如x³，则分解后A/x+B/x²+C/x³三项；

如(2x+3)³、(3x-4)³等，则分解后亦有A/(2x+3)、(2x+3)²、(2x+3)³三项；

或A/(3x-4)、(3x-4)²、(3x-4)³三项；

二次幂有两项，三次幂有三项，四次幂有四项，五次幂有五项，余类推。

3、如果分母上有二次函数：

如(x²+x+1)⁴，则分解后有(Bx+C/(x²+x+1)、(Dx+E)(x²+x+1)²、(Fx+G)(x²+x+1)³、

(Hx+I)(x²+x+1)⁴四项。

五次幂有五项，六次幂有六项，七次幂有七项。余类推。

扩展资料：

理性函数由有理分数定义的任何函数，即代数分数，使得分子和分母都是多项式。 多项式的系数不需要是有理数，它们可以在任何字段K中进行。变量的情况可以在包含K的任何字段L中进行。函数的域是变量，分母不为零，代码区为L。

一个有理函数h可以写成如下形式：h=f/g，这里 f 和 g 都是多项式函数。有理函数是特殊的亚纯函数， 它的零点和极点个数有限。

有理函数全体构成所谓的有理函数域。

在实数范围内，无限不循环的小数叫做无理数，一般通过开平方得到。在二次函数里面，如 y=a*x^2+b*x+c，如果△≥0，那么 y=0 有实数解；如果△<0，那么 y=0 没有实数解，但有虚数解。

两个理性函数的和，乘积或商（除零次多项式）本身就是一个理性函数。然而，除非要注意，否则减少到标准形式的过程可能会无意中导致除去这些奇异点。使用有理函数的定义作为等价类来解决这个问题，因为x / x等于1/1。

参考资料来源：百度百科——有理函数

Answer 2

像除法一样除，直到余无x

Answer 3

要用到高等代数知识

Answer 4

查高等代数相关章节
用到了多项式相除的定理。
p(x),q(x)是两个多项式，则存在唯一的多项式r(x),t(x) 使得
p(x)=r(x)q(x) + t(x) , 其中t(x)的次数小于q(x)
用这个结论，可以推出你想要的结论。注意，裂开看分子的多项式次数是小于分母的

Answer 5

不要被上面的图片吓住！那是喜欢虚张声势的教师经常拿来炫耀的！
也不要去看什么线性代数，那会大海捞针。
看懂线性代数的基本名词术语，将消耗至少几十个小时。

简单方法：
1、将分母在实数内分解；
2、分母上如有一次函数：
如x，则分解后有A/x这一项；
如2x+3、3x-4等，则分解后亦有一项A/(2x+3x)、A/(3x-4)；
如x³，则分解后A/x+B/x²+C/x³三项；
如(2x+3)³、(3x-4)³等，则分解后亦有A/(2x+3)、(2x+3)²、(2x+3)³三项；
或A/(3x-4)、(3x-4)²、(3x-4)³三项；
二次幂有两项，三次幂有三项，四次幂有四项，五次幂有五项，余类推。
3、如果分母上有二次函数：
如(x²+x+1)⁴，则分解后有(Bx+C/(x²+x+1)、(Dx+E)(x²+x+1)²、(Fx+G)(x²+x+1)³、
(Hx+I)(x²+x+1)⁴四项。
五次幂有五项，六次幂有六项，七次幂有七项。余类推。
4、其余类推。
5、系数待定主要有三种：substitution，coefficient comparison，covering-up。
国内主要是代入法，系数比较法。

如有问题，请Hi我。具体问题具体讨论，很容易，看两道例题就能完全掌握。