Question

函数。导数

已知f(x)=ln(x+1),g(x)=1/2ax^2+bx
(1):若b=2，且h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间。求a的取值范围。
(2):若a=0，b=1时，求证：f(x)-g(x)≤0对于x∈（-1，正无穷）恒成立。
(3):利用2的结论证明：若0＜x＜y，则xlnx+ylny＞（x+y）ln(x+y)/2

答好了多加分。详细步骤齐全点

Answer 1

已知f(x)=ln(x+1),g(x)=1/2ax^2+bx
(1):若b=2，且h(x)=f(x-1)-g(x)存在单调递减区间。求a的取值范围。
(2):若a=0，b=1时，求证：f(x)-g(x)≤0对于x∈（-1，正无穷）恒成立。
(3):利用2的结论证明：若0＜x＜y，则xlnx+ylny＞（x+y）ln(x+y)/2
解：（1）由已知，x∈(0, +∞)
h(x)= lnx-1/2ax^2-2x
h′(x)=1/x –ax-2=[-ax²-2x+1]/x
若a=0，当x>1/2时，h′(x)< 0,h(X)在（1/2，+∞）上递减
若a≠0,由△=4+4a>0,得a>-1，此时函数-ax²-2x+1与x轴总有两交点
综上，a∈(-1 ,0 ]
(2)令h(x)= f(x)-g(x)= ln(x+1)-x
h′(x)=1/(x+1)-1
令1/(x+1)-1=0,得x=0是h(x)的最大值点
h(0)= = ln(0+1)-0=0
故f(x)-g(x)≤0对于x∈（-1，正无穷）恒成立。
（3）待续

Answer 2

(1)h(x)=lnx-1/2ax^2-2x,定义域x>0,h'(x)=1/x-ax-2<0,即ax^2+2x-1>0有解
1.a>0满足题意
2.a=0，满足题意
3,a<0时,必有delta=4+4a>0,所以-1<a<0
所以a>-1